Análisis de las Integrales Impropias

Question

Esta pregunta es de Munkres Análisis sobre los Colectores, la sección 15 de la pregunta 1.

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser la función de $f(x) = x$. Muestran que, dado $\lambda \in \mathbb{R}$, existe una secuencia $C_N$ compacto subsanables en los subconjuntos de a $\mathbb{R}$ cuya unión es $\mathbb{R}$, de tal manera que $C_N \subset \operatorname{Int} \, C_{N+1}$ por cada $N$ y $$\lim_{N \to \infty} \int_{C_N} f = \lambda. $$ ¿La ampliación integral de la $\int_\mathbb{R} f$ existen?

Mi conjetura es tener $C_0$ $\lambda$ y no el punto de $-\lambda$. A continuación,$C_i$$[\lambda - i, \lambda +i]$$[-\lambda - i, -\lambda +i] \setminus -\lambda$. Esto cubriría $\mathbb{R}$, y la integral se mantenga. No estoy seguro de si esto tiene sentido, sin embargo. También la extendida integral no existe (sería infinito), pero un teorema en la sección que dice que si la integral normal existe, entonces el extendido de la integral existe.

Answer 1

Hay muchas posibilidades, pero de una manera para la construcción de la $C_n$ sería como sigue. Voy a utilizar la notación que $B(x_0,r) = [x_0 - r, x_0 + r]$. En primer lugar, observe que $$ \int_{B(x_0,r)} f(x) \, dx = \int_{x_0 - r}^{x_0 + r} x \, dx = 2x_0 r $$ Ahora, fix $\lambda \in \mathbb{R}$. Pick $|x_0|$ muy pequeños, que $r = \lambda/(2x_0)$ es mucho más grande de lo $1$. Ahora establezca $C_0 = B(x_0, r)$. A continuación,$\int_{C_0} f \, dx = \lambda$. Ahora defina $C_n$$n \geq 1$$C_n = B(2^{-n}x_0, 2^n r)$. A continuación, $C_{n-1} \subset C_n$ $\int_{C_n} f \, dx = \lambda$ por cada $n$. Además, desde el $C_n$ está expandiendo de manera exponencial, entonces hay unión cubre $\mathbb{R}$.