La discontinuidad de la derivada de una función derivable en el intervalo cerrado

Question

Tengo una pregunta sobre el corolario al teorema 5.12 en Rudin los Principios de Análisis Matemático (página 108):

Supongamos $f$ es una verdadera función derivable en a $[a,b]$ y supongamos $f'(a)< \lambda < f'(b)$, entonces hay un punto de $x \in (a,b)$ tal que $f'(x) = \lambda$

Corolario: Si $f$ es diferenciable en a $[a,b]$ $f'$ no tiene ningún simple discontinuidades en $[a,b]$.

Alguien me puede ayudar a mostrar cómo se utiliza el resultado en el "principal teorema" en el corolario?

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(Hay dos casos de simple discontinuidades $f(x+) = f(x-) \neq f(x)$ $f(x +) \neq f(x-)$

Answer 1

El teorema en cuestión, básicamente, establece que la conclusión del teorema del valor intermedio se tiene para la derivada de una función derivable en todas partes, incluso si la derivada es discontinuo.

Para un simple discontinuidad de primera especie, suponga $f'(x+)=f'(x-)<f'(x)$, vamos a $\lambda\in(f'(x-),f'(x))$, y recoger $y>x$ $f'(z)<\lambda$ siempre $z\in(x,y]$. Por lo tanto $f'(y)<\lambda<f'(x)$, e $f'(z)\ne\lambda$ todos los $z\in[x,y]$, que contradice el teorema. La prueba de $f'(x+)=f'(x-)>f'(x)$ es similar, o reemplace$f$$-f$.

Para el segundo tipo, decir $f'(x-)<f'(x+)$ y pick $\lambda\in(f'(x-),f'(x+))$, y deje $u<x<v$ con $u$, $v$ lo suficientemente cerca de a$x$, de modo que $f'(z)<\lambda$$z\in[u,x)$, e $f'(z)>\lambda$$z\in(x,v]$.