Es posible descomponer una matriz como el producto de dos vectores?

Question

Esta pregunta tal vez estúpido para algunos de ustedes, pero me gustaría saber si es posible descomponer una matriz de $M_{m\times n}$ como el producto de dos vectores, es decir,

$$M_{m\times n} = \vec{y}_{m\times 1}\times\vec{x}_{1\times n}+const.$$

Obviamente, esto debe ser cierto para algunos casos, pero no estoy seguro de si esta conclusión se mantenga siempre. Mientras tanto, quiero saber en qué condición, podemos hacer esto de descomposición y cómo encontrar los vectores $\vec{y}$$\vec{x}$?

Answer 1

Si por $\times$ significa que el producto cruzado, a continuación, por supuesto, esto no tiene sentido.

Si te refieres a una matriz de producto, entonces también no funcionará. Tomemos, por ejemplo, $$ \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1} $$ y se supone que $$ \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1} = \pmatrix{a \\ b}\pmatrix{c + d} = \pmatrix{ca & da \\ ac y bd}. $$ Usted ver que $ac \neq 0$ y $bd \neq 0$, lo $a, b, c, d\neq 0$. Por lo $da\neq 0$$bc\neq 0$. (Es de suponer que la constante es cero, de lo contrario sería que la constante a se $M$ $x$ $y$ cero vectores.)

Answer 2

En general, el rango de $n$ matriz puede ser expresado como la suma de $n$ rango 1 matriz utilizando la descomposición de valor singular.

Cuando la matriz es de rango 1 podemos expresar como usted sugiere en su pregunta. Si es $>1$, no podemos expresar así.

Answer 3

No, simplemente porque el espacio de las matrices es $mn$-dimensional, y el espacio de los pares de vectores es $(m+n)$-dimensional, que pueden ser mucho más pequeños. Lo mejor que uno puede hacer es descomponer en una suma de $\min(m,n)$ de los productos, y de esta descomposición es, por supuesto, ni siquiera cerca de ser único.