Convergencia uniforme de $f_n=\frac{\sqrt{n}\cdot \sin(x)}{nx^{2}+2}$

Question

Estoy aprendiendo sobre la convergencia uniforme de las series de funciones. Quería preguntar si he respondido correctamente a este ejercicio:

Dejemos que $$f_n=\frac{\sqrt{n}\cdot \sin(x)}{nx^{2}+2}$$

1. En $f_n$ convergen uniformemente en $[0,\infty)$
2. En $f_n$ convergen uniformemente en $[-\pi,\pi]$ ?
3. En $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}f_n(x)dx \rightarrow 0$ ?

Solución

$f_n$ es convergente puntualmente con $f(x)=0$ en R. Put $x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ entonces $|f_n(x_n)-f(x_n)|\rightarrow \frac{1}{3}$ y por lo tanto la respuesta a 1. y 2. es que $f_n$ no es uniformemente convergente en esos intervalos.

Para la 3., la respuesta es sí ya que $f_n(x)\rightarrow f(x)=0$ .

Lo que me parece impar de esta solución es que se puede responder a 1. y 2. aparentemente de la misma manera. Entonces, ¿es esto correcto?

Gracias.

Answer 1

Su solución para 1) y 2) es correcta. Tu respuesta para la parte 3) es correcta, pero el razonamiento es erróneo. La convergencia puntual no implica la convergencia de las integrales; la convergencia uniforme, en cambio, sí. Es decir, si $\{ g_n\}$ converge uniformemente a $g$ en $[a,b]$ y si cada $g_n$ es integrable en $[a,b]$ entonces $g$ es integrable en $[a,b]$ y $\int_a^b g_n\rightarrow\int_a^b g$ .

Puede demostrar que su $f_n$ convergen uniformemente a 0 en $[\pi, 2\pi]$ (lo que me lleva a pensar que la parte 2) debería haber preguntado si la convergencia era uniforme en $[\pi,2\pi]$ ).

Answer 2

Su argumento en (3) es erróneo: Consideremos una secuencia de funciones lineales a trozos $(f_n)$ donde el gráfico de $f_n(x)$ es una línea recta que pasa por $(0,0)$ y $(\frac1{2n},2n)$ para $0 \leq x \leq \frac1{2n}$ y una línea recta que pasa por $(\frac1{2n},2n)$ y $(\frac1n,0)$ para $\frac1{2n} \leq x \leq \frac1n$ y $0$ en todos los demás lugares.

Entonces tenemos para todos $x \in [0,1]$ que $f_n(x) = 0$ eventualmente. En particular $f_n \to 0$ en el sentido de la palabra, pero : $$ \lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n(x)\,dx = 1 \neq 0 = \int_0^1 \lim_{n\to \infty} f_n(x)\,dx. $$

Este es un ejemplo estándar de por qué la convergencia puntual y las integrales son una cuestión delicada.

Answer 3

Para 3. la convergencia puntual no es lo suficientemente fuerte (como ya han respondido otros usuarios). La buena noticia es que su secuencia de funciones converge uniformemente en $[a, +\infty], \forall \ a>0$ y, por tanto, también en $[\pi, 2\pi]$ . Para demostrarlo, basta con razonar como sigue:

$$\sup_{[a,+\infty]}{|f_n|}=\sup_{[a, +\infty]}{\frac{\sqrt{n}\cdot \sin(x)}{nx^{2}+2}} \leq \frac{\sqrt{n}}{na^{2}+2} \rightarrow 0$$

para $n \rightarrow\infty$ . Su problema con la convergencia uniforme en $\mathbb{R}$ como muestra su solución a 1., se encuentra "cerca de $0$ "; si se aleja de $0$ este problema desaparece.