más alto producto de los números que se suma a $100$

Question

¿cuál es el mayor producto de los números que suman 100

por ejemplo, $100 = 1+1+1+1+1+1+1+\ldots+1$ el producto de estos es sólo $1^{100} = 1$

$100 = 99 + 1$ el producto de estas es $99\times 1$

los números tienen que ser enteros positivos

¿los números tienen que ser de la misma - por ejemplo, creo que es $2^{50}$

Answer 1

El aritmético-geométrico-significa que la ecuación dice que el $\sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{n}}\geq\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{a_i}}$.

Si usted entra a su condición en el lado izquierdo y mirar diferentes valores de $n$, usted podría encontrar una solución.

Editar: Este método funciona bien para adivinar una solución, que es que la mayoría de sus números se $3$, y tratando de que nos podemos encontrar en $3^{32}\cdot 2^2$. Ahora podemos ir a demostrar de que esta hecho el máximo:

Hay que asumir que los $a_k$ de sus números es mayor que $4$. Entonces podríamos sustituir este número por $\frac{a_k}{2}+\frac{a_k}{2}$, que tiene un producto mayor que $a_k$, ya que el $\frac{a_k}{2}^2\geq a_k \Leftrightarrow a_k\geq 4$.

(Si $a_k$ es impar, podemos hacer lo mismo con los dos números con diferencia $1$.)

De esto podemos concluir que no puede haber ningún número mayor que $3$ en su suma. También, puede ser el no $1$s, por razones obvias.

Por lo tanto, tenemos una selección de $a$ $3$s, y $b$ $2$s, donde $3a+2b\leq 100$. Formalmente, tenemos que mirar los casos de $3a+2b=100, 3a+2b=99$, ya que si la suma es menor que $98$ simplemente se podría agregar un $2$.

Por lo tanto, podemos escribir nuestro producto como $3^a2^{\frac{100-3a}{2}}$. Si nos fijamos en esta función, y su máximo/monotonía de las propiedades de los únicos valores posibles para un máximo de se $a=32, a=33$. Comparación conduce a ser máximo en $a=32, b=2$.

Otra posibilidad con menos de cálculo podría ser $3\cdot 3\geq 6$, inmediatamente nos dice que no puede haber más de $3$ $2$s, cosa que podría, de nuevo, sustituya, con $2$ $3$s. En retrospectiva, de esta manera podría ser en realidad mucho más rápido y no requiere de la diferenciación...

En cualquier caso, con las dos variantes que se hacen, y que tiene su máximo, siendo lo bastante algunas personas han señalado hasta el momento.

Answer 2

Si escribimos un continuo versión $f(x)=x^{\frac{100}{x}}$, como máximo, es al $x=e$, la más cercana número natural es 3, por lo que el máximo es $3^{32}*4$.

Voy a añadir que $f(x)=x^{\frac{b}{x}};\ \forall b\geq 1$ tiene un máximo en $x=e$.

Tenemos que ver ahora que cualquier composición será menor número que sólo un único exponencial. Escribo $$f(x)=x_0^{\frac {- b\sum_{i}c_i}{x_0}}\cdot x_1^{\frac{c_1}{x_1}}\cdot x_2^{\frac{c_2}{x_2}}\cdots x_n^{\frac{c_n}{x_n}};\ c_i\neq c_j,\ \sum c_i<b\\ x_i,b,c_i>1$$

Desde arriba podemos ver que el máximo para cualquier multiplicador es cuando la base es$x_i=e$, por lo que se puede ver que para cualquier $c_i$ elegimos el valor máximo será relativa a una base $x_i=e$, por lo que no existe ninguna composición con $x_i\neq e$ que hacen la función de una mayor máximo la elección de cualquier $c_i$ descomposición que desee.

Esto traducido a números naturales de poner el máximo de con $x=3$, es decir, no más cercanos número natural a $e$ que $3$ que conducen a un número f(n) más cercano a f(e):

$$|f(e)-f(3)|<|f(e)-f(n)|\ \forall n\in \Bbb N-\{3\}$$

Y podemos añadir que si $0\not\equiv b \mod 3$ a continuación, el siguiente número cercano a $f(e)$ $f(2)$ así que deben componer el número con potencias de base 3 y 2. I. e.: $$r\equiv b\mod 3\ \rightarrow f(b)=3^{\frac{b-c}{3}}2^{\frac{c}{2}}\begin{cases}r\equiv 0, f(b)=3^{\frac{b}{3}}\\r\equiv 1, f(b)=3^{\frac{b-4}{3}}*4\\r\equiv 2, f(b)=3^{\frac{b-2}{3}}*2\end{cases}$$

Answer 3

Echemos un vistazo a una factorización que contienen el término $n$. Tenemos $2(n-2)=2n-4$ así que si $n\ge 4$ tenemos $2(n-2)= 2n-4 \ge n$, y reemplace$n$$2, n-2$, que no reduce el producto y puede aumentar.

Si $1$ aparece en la suma podemos agregar a otro sumando, lo que incrementa claramente el producto sin cambiar la suma.

Así obtenemos una suma que consta de términos que son o $2$ o $3$. A continuación, tomamos nota de Barac, de la observación de que $3\cdot 3 \gt 2\cdot 2 \cdot 2$