¿Cómo debo llamar a una frase que debe (no) ser cierta, pero cuya demostrabilidad es aún desconocida?

Question

Por ejemplo, que $ \phi $ ser una sentencia en $ZF$ y $ZFC \vdash \neg\phi $ . Entonces.., $ \phi $ no debe ser demostrable en $ZF$ pero aún no sabemos si $ZF \vdash \neg\phi $ . ¿Cómo debería llamar a esta frase? $ \phi $ bajo $ZF$ ?

Answer 1

Yo diría que $ \phi $ es consistentemente falso con ZF o $ \phi $ no se puede probar con ZF . Porque es consistente tener $ZF+ \lnot\phi $ (por ejemplo, si asumimos la elección).

Si crees que debería ser probadamente falso de la propia ZF, es algo para sugerir como una conjetura. Sin embargo, si todo lo que sabes es que es consistente con el ZF, esto es todo lo que puedes decir.

Por ejemplo $ \phi $ podría ser la declaración " No hay ninguna incrustación elemental del universo en sí mismo " (lo que sea que signifique), que es una afirmación que sabemos que es probadamente falsa por el ZFC, pero no sabemos su probabilidad por el ZF (probablemente uno de los mayores problemas de la teoría de conjuntos sin elección).

Answer 2

$ \phi $ es falso, pero puede que no se pueda refutar en ZF.