Es la expresión de la $\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{2}{3k}\right)$ delimitada?

Question

Hoy me encuentro una integral:

$$\int_0^{\infty}\left[\frac{1}{3}\frac{\sin x}{x}+\cdots+\frac{1\times4\times\cdots\times(3n-2)}{3^nn!}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^n+\cdots\right]\text{d}x$$

desde $$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{2}$$

así que quiero para estimar el $$\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{2}{3k}\right)$$

Es la expresión anterior delimitada? Muchas gracias :)

Answer 1

$$\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{2}{3k}\right) \geq \frac13\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{3}{3k}\right)=\frac13\prod_{k=2}^{n}\left(\frac{k-1}{k}\right)=\frac{1}{3n}$$

y $\sum \frac{1}{3n}$ diverge.

Answer 2

Solución Informal: Tomar el logaritmo del producto. Tenemos $\log(1-t)=-t+O(1/t^2)$. Sumando, obtenemos $$-\frac{2}{3}\left(1+ \frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)+O(1/n)=-\frac{2}{3}H_n+O(1/n),$$ donde $H_n$ $n$- ésimo número armónico.

Pero la diferencia entre el $H_n$ $\log n$ está acotada. De ello se sigue que nuestro producto se comporta como $n^{-2/3}$, por lo que la suma diverge.

Answer 3

N. S. de la idea puede ser adaptado para producir la exacta asymptotics. A saber, $$ \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{2}{3k}\right)=\frac13\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{2}{3k}\right)\geqslant\frac13\prod_{k=2}^n\left(\frac{k-1}k\right)^{2/3}=\frac1{3n^{2/3}}. $$ Para ello se utiliza el hecho de que, por la convexidad, para cada $a$ $t$ en $(0,1)$, $1-at\geqslant(1-t)^a$.

Asimismo, para cada $a$$(0,1)$, $$ \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{a}{k}\right)=(1-a)\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{a}{k}\right)\geqslant(1-a)\prod_{k=2}^n\left(\frac{k-1}k\right)^{a}=\frac{1-a}{n^a}, $$ por lo tanto $$\sum_{n=1}^{N}\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{a}{k}\right)\geqslant\sum_{n=1}^{N}\frac{1-a}{n^a}\geqslant\int_1^{N+1}\frac{1-a}{x^a}\mathrm dx=(N+1)^{1}-1, $$ y, en particular, $$\sum_{n=1}^{+\infty}\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{a}{k}\right)=+\infty. $$ En la otra dirección, para cada $a$ $t$ en $(0,1)$, $1-at\leqslant(1+t)^{-a}$, por lo tanto $$ \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{a}{k}\right)\leqslant\prod_{k=1}^n\left(\frac{k}{k+1}\right)^{a}=\frac{1}{(n+1)^a}, $$ y $$\sum_{n=1}^{N}\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{a}{k}\right)\leqslant\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(n+1)^a}\leqslant\int_0^{N}\frac{1}{x^a}\mathrm dx=\frac{N^{1}}{1}. $$

Answer 4

Desde $$\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{2}{3k}\right) = \left|{-1/3\choose n}\right|\sim {n^{-2/3}\over\Gamma(1/3)},$$ la suma diverge.