Bicondicional

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico y $G$ un grupo que actúa en $X$. Qué tenemos esta propiedad:

$$\operatorname{orb}(x)=\operatorname{orb}(y)\iff\operatorname{stab}(x)\sim \operatorname{stab}(y)\qquad ?$$ donde $\operatorname{orb}(x)$ es de la órbita de $x$, $\operatorname{stab}(x)=\{g\in G\mid gx=x\}$, y el símbolo $\sim$ significa conjugado.

Una forma es obvia: si $\operatorname{orb}(x)=\operatorname{orb}(y)$, $x=gy$ algunos $g\in G$, lo $$\operatorname{stab}(x)=\operatorname{stab}(gy)=g\operatorname{stab}(y)g^{-1}.$$ Pero de la otra manera no es evidente para mí: si $\operatorname{stab}(x)\sim \operatorname{stab}(y)$, $\exists k\in G$ tal que para todos $g\in \operatorname{stab}(x)$, $ \exists h \in \operatorname{stab}(y)$ tal que $g=khk^{-1}$. Ahora desde $gx=x$$hy=y$, $khk^{-1}x=x$ $hk^{-1}x=k^{-1}x$ por lo tanto $h\in \operatorname{stab}(k^{-1}x)$,, pero no puedo ir más lejos... Gracias por tu ayuda.

Answer 1

La respuesta es no.

Deje que el trivial grupo $G=\{Id\}$ actuar en $X$ que contiene al menos dos puntos de $x$$y$. A continuación, $\operatorname{orb}(x) \neq \operatorname{orb}(y)$ pero $\operatorname{Stab}(x)=\operatorname{Stab}(y)$.

De manera más general, invariante puntos (es decir, con estabilizador de igual a $G$) no están en la misma órbita, pero tienen la misma estabilizador.