Invariantes polinomios en virtud de un $S_4$-acción

Question

Supongamos $X = \mathbb{Q}-span \langle x_1, x_2, x_3 \rangle \cong \mathbb{Q}^3$ $3$- dimensional $\mathbb{Q}$-espacio vectorial con alguna base $(x_1, x_2,x_3)$. Dejamos que el grupo simétrico $S_4$ actuar en $X$, como producto del estándar de representación y el signo de la representación (por lo $X$ es una irrep de $S_4$). Considerar la simetría del producto$S^+(X)$$X$, donde el $^+$ indica que sólo estamos considerando distinto de cero grados (es decir, hacemos caso omiso de las $0$-grado de factor de $\mathbb{Q}$ en el simétrica producto).

Pregunta: ¿Cómo puedo describir el espacio de invariantes $(S^+(X))^{S_4}$?

Algunas ideas: sé que podemos identificar la (no-cero grado) simétrica producto de $X$ con el espacio positiva de los polinomios de grado en $3$ variables $\mathbb{Q}$: $$S^+(X) \cong \mathbb{Q}_{>0}[x_1, x_2, x_3].$$ Así que lo que quiero encontrar es realmente el invariante polinomios $( \mathbb{Q}_{>0}[x_1, x_2, x_3])^{S_4}$.

Más información acerca de la representación estoy pensando y mi elección específica de base: Los elementos $x_1, x_2, x_3$ he elegido son tales que la generación de transposiciones $(1, 2), (2, 3), (3,4) \in S_4$ tienen el siguiente efecto (según mis cálculos): \begin{align*} (1,2): \hspace{2mm} &x_1 \mapsto -x_1, \hspace{3mm} x_2 \mapsto -x_1+x_2+x_3, \hspace{3mm} x_3 \mapsto -x_3 \\ (2,3): \hspace{2mm} &x_1 \mapsto -x_1, \hspace{3mm} x_2 \mapsto -x_3, \hspace{3mm} x_3 \mapsto -x_2 \\ (3,4): \hspace{2mm} &x_1 \mapsto x_3, \hspace{3mm} x_2 \mapsto -x_2, \hspace{3mm} x_3 \mapsto x_1 \end{align*}

He calculado que, por ejemplo, el polinomio $$g = (-x_1 + x_2 + x_3)x_1x_2x_3 \in \mathbb{Q}_{>0}[x_1, x_2, x_3]$$ es invariante bajo la acción de la $(1, 2), (2, 3), (3,4) \in S_4$. Desde estas transposiciones generar $S_4$, se deduce que el $g \in ( \mathbb{Q}_{>0}[x_1, x_2, x_3])^{S_4}$. Pero, ¿la base he elegido importa de cualquier manera? Y ¿cómo puedo encontrar todo el espacio de polinomios invariantes?

Edit: yo también agradecería una referencia en las formas de búsqueda de invariantes polinomios (en casos sencillos) son tratados. Tengo el mismo problema, también derivadas de las acciones de algunos semidirect y en directo, los productos que $S_4$$S_2$, en lugar de $S_4$.

Quizás también es posible tratar este uso de la programación de computadoras. Por desgracia, tengo cero experiencia con equipo de álgebra programas. Si este es el camino a aquí, sin embargo, entonces yo estaría encantado de aprender acerca de él.

Me alegro por la ayuda!

Answer 1

Creo entender la intuición detrás de su pregunta. Por esa razón he trabajado fuera un ejemplo para mostrar cómo las representaciones de $S_4$ reflejan cuando se aplica a polinomios. Para la simplicidad que considerar polinomios en cuatro indeterminates $X, Y, Z$$T$, este último siempre puede ser sustituido por $1$ después. Elegí al azar para el estudio de la representación de polinomios de grado $7$. Hice mis cálculos utilizando un cas nombre de la BRECHA, haciendo con la mano que parecía ser un poco tedioso.

El espacio vectorial generado por los monomials de grado $7$ se divide en tres subespacios, Los de la forma $X^2Y^2Z^2T$ de la dimensión de $4$, los de la forma $X^3Y^2ZT$ de la dimensión de $12$ y los de la forma $X^4YZY$ de la dimensión de $4$. Vamos a ver cómo estos subrepresentations más dividido en irreducibles de subespacios. Para ello vamos a utilizar la tabla de caracteres de $S_4$:

 gap> Irr(G);
 [ Character( CharacterTable( S4 ), [ 1, 1, 1, 1, 1 ] ),
  Character( CharacterTable( S4 ), [ 1, -1, -1, 1, 1 ] ),
  Character( CharacterTable( S4 ), [ 2, 0, 0, -1, 2 ] ),
  Character( CharacterTable( S4 ), [ 3, 1, -1, 0, -1 ] ),
  Character( CharacterTable( S4 ), [ 3, -1, 1, 0, -1 ] ) ]

Los personajes son los rastros de la irreductible representación de las matrices. Cada fila muestra el valor (de un representante de una clase conjugacy) de un elemento de grupo, el primero es el valor de la identidad y por tanto la dimensión de la representación. No es un producto escalar definido en los caracteres de la $<\chi, \psi> = ( \sum_{g \in G} \chi(g) \psi(g^{-1}) ) / |G|$ que hace que los caracteres de un ortonormales sistema, de manera que es un asunto fácil de detectar cómo una representación es la estructura de su carácter.

En nuestro caso los personajes son fáciles de calcular, ya permutaciones mapa monomials a monomials. Por lo que para calcular la traza de una matriz que representa una permutación sólo tenemos que contar cuántos monomials se asignan a sí mismos. Para nuestros tres subespacios obtenemos, respectivamente,$[4,0,2,1,0], [12,0,2,0,0]$$[4,0,2,1,0]$. Basado en el producto escalar con el irreductible de los personajes de la primera y la última subespacio son la suma directa de lo trivial y el estándar de representación. El segundo subespacio contiene la representación trivial una vez, el estándar de representación en dos ocasiones , la "firma" representación 3D de una vez el "excepcional" representación 2D de una vez.