Tomando un límite difícil $ \lim_ {p \to\infty } \int_ { \Bbb R^N} \left ( \frac { \left\lvert\nabla u \right\rvert }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right )^{p-2} \cdots $

Question

$$ \lim_ {p \rightarrow \infty } \int_ { \mathbb R^N} \left ( \frac { \left\lvert \nabla u \right\rvert }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right )^{p-2} \frac { \nabla u}{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \cdot \nabla v \,dx \label { \star } \tag {$ \star $}$$

donde $\, \left\lvert\ , \cdot\ , \right\rvert\ ,$ es la euclidiana $2$ -norma y $\; \left\ | \nabla u \right\ |_p = \left\ |\, \left\lvert \nabla u \right\rvert \, \right\ |_p$ .

¿Alguien podría darme alguna pista para encontrar una forma explícita para la expresión que involucra $u$ ? Siento que mi enfoque no es del todo correcto...

Primero sé que el término en el límite está limitado $$ \begin {aligned} \eqref { \star } & \leq \int_ { \mathbb R^N} \left ( \frac { \left\lvert \nabla u \right\rvert }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right )^{p-1} \left\lvert \nabla v \right\rvert \,dx \\ & = \left\ | \nabla u \right\ |_p^{1-p} \int_ { \mathbb R^N} \left\lvert \nabla u \right\rvert ^{p-1} \left\lvert \nabla v \right\rvert \,dx \\ & \leq \left\ | \nabla u \right\ |_p^{1-p} \Bigg ( \int_ { \mathbb R^N} \Big ( \left\lvert \nabla u \right\rvert ^{p-1} \Big )^{ \frac {p}{p-1}}\,dx \Bigg )^{ \frac {p-1}{p}} \Bigg ( \int_ { \mathbb R^N} \left\lvert \nabla v \right\rvert ^ p \,dx \Bigg )^{ \frac {1}{p}} \\ & = \left\ | \nabla u \right\ |_p^{1-p} \left\ | \nabla u \right\ |_p^{p-1} \left\ | \nabla v \right\ |_p \\ & = \left\ | \nabla v \right\ |_p. \end {aligned} $$ con el supuesto adicional de que $ \nabla v \in L^ \infty\ ! \left ( \mathbb R^N, \mathbb R^N \right )$ .

Definir el conjunto $$ D:= \big\ { \left\lvert \nabla u \right\rvert \leq \| \nabla u \|_ \infty - \delta\big\ },$$ el límite $ \eqref { \star }$ es cero en el set $D$ . Para ver esto, sabemos que existe $N \in \mathbb N$ de tal manera que $$ \left |\, \left\ | \nabla u \right\ |_ \infty - \left\ | \nabla u \right\ |_p \, \right | \leq \frac { \delta }{2} \quad \forall \; p \geq N.$$ En el set $D$ tenemos $$ \left\ | \nabla u \right\ |_p - \left\lvert \nabla u \right\rvert \geq \frac { \delta }{2} \quad \forall \; p \geq N$$ lo que significa $$ \frac { \left\lvert \nabla u \right\rvert }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \leq 1 - \frac { \delta }{2} \quad \forall \; p \geq N$$ y el término en el límite $ \left ( \dfrac { \left\lvert \nabla u \right\rvert }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right )^{p-2}$ va a $0$ de manera uniforme.

A continuación miré el set $K: = \big\ { \left\lvert \nabla u \right\rvert = \left\ | \nabla u \right\ |_ \infty\big\ }$ el término $$ \left ( \frac { \left\lvert \nabla u \right\rvert }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right )^{p-2} = \left ( \frac { \left\ | \nabla u \right\ |_ \infty }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right )^{p-2} $$ está en la forma $``1^ \infty "$ así que intenté usar la regla de L'Hopital. Y podemos calcular el límite (asumiendo que las integrales están definidas y son finitas, sólo quiero ver cómo podría ser el límite). $$ \begin {aligned} \lim_ {p \rightarrow \infty } \left ( \frac { \left\ | \nabla u \right\ |_ \infty }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right )^{p-2} &= \lim_ {p \rightarrow \infty } \exp\left ( \left (p-2 \right ) \log\left ( \frac { \left\ | \nabla u \right\ |_ \infty }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right ) \right ) \\ &= \lim_ {p \rightarrow \infty } \exp\left ( \frac { \log\left ( \frac { \left\ | \nabla u \right\ |_ \infty }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right )}{ \frac {1}{p-2}} \right ) \\ &= \lim_ {p \rightarrow \infty } \exp\left ( \frac { \frac {d}{dp} \left [- \log\left ( \frac { \left\ | \nabla u \right\ |_p}{ \left\ | \nabla u \right\ |_ \infty } \right ) \right ]}{ \frac {-1}{(p-2)^2}} \right ) \\ &= \lim_ {p \rightarrow \infty } \exp \left ( \dfrac { \left ( \dfrac { \left\ | \nabla u \right\ |_ \infty }{ \left\ | \nabla u \right\ |_p} \right ) \dfrac { \frac {d}{dp} \big ( \left\ | \nabla u \right\ |_p \big ) }{ \left\ | \nabla u \right\ |_ \infty } } { \dfrac {1}{ \left (p-2 \right )^2 } } \right ) \end {aligned} $$ donde $$ \begin {aligned} \frac {d}{dp} \Big [ \left\ | \nabla u \right\ |_p \Big ] &= \frac {d}{dp} \left [ \left ( \int_ { \mathbb R^N} \left\lvert\nabla u \right\rvert ^p \,dx \right )^{1/p} \right ] \\ &= \frac {d}{dp} \left [ \exp\left ( \frac {1}{p} \log\left ( \int_ { \mathbb R^N} \left\lvert\nabla u \right\rvert ^p \,dx \right ) \right ) \right ] \\ &=\| \nabla u \|_p \left\ { \frac {-1}{p^2} \log\left ( \int_ { \mathbb R^N} \left\lvert\nabla u \right\rvert ^p \,dx \right ) + \dfrac {1}{p} \dfrac {1}{ \int_ { \mathbb R^N} \left\lvert\nabla u \right\rvert ^p \,dx } \int_ { \mathbb R^N} \left\lvert \nabla u \right\rvert ^p \log\big ( \left\lvert\nabla u \right\rvert\big ) \,dx \right\ } \end {aligned} $$

Y estoy un poco atascado. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Gracias por la ayuda del usuario zhw.

Afirmo que $$ \lim_ {p \rightarrow \infty } \int_ { \mathbb R^N} \Bigg\ { \left ( \frac {| \nabla u|}{\| \nabla u\|_p} \right )^{p-2} \frac { \nabla u}{\| \nabla u\|_p} \Bigg\ } \cdot \nabla v dx = \int_K \frac {1}{m(K)} \frac { \nabla u}{\| \nabla u\|_ \infty } \cdot \nabla v dx$$ donde $K:= \{| \nabla u| = \| \nabla u \|_ \infty\ }$ . Asumimos $m(K)>0$ o bien el límite es $0$ .

En el subconjunto $\{ \mathbb R^N - K\}$ , El término $ \left ( \frac {| \nabla u |}{\| \nabla u\|_p} \right )^{p-2}$ va a $0$ punto a.e. en $ \mathbb R^N - K$ por el teorema de convergencia dominado por Lebesgue, tenemos $$ \lim_ {p \to\infty } \int_ { \mathbb R^N - K} \left ( \frac {| \nabla u |}{\| \nabla u\|_p} \right )^{p-2} \frac { \nabla u}{\| \nabla u\|_p} \cdot \nabla v dx = 0$$

El siguiente en el set $K: = \{| \nabla u| = \| \nabla u \|_ \infty\ }$ Afirmo que el término
$$ \lim_ {p \to\infty } \left ( \frac {| \nabla u |}{\| \nabla u\|_p} \right )^{p-2} = \lim_ {p \to\infty } \left ( \frac {\| \nabla u \|_ \infty }{\| \nabla u\|_p} \right )^{p-2} = \frac {1}{m(K)}.$$

Podemos reescribir $ \left ( \frac {\| \nabla u \|_ \infty }{\| \nabla u\|_p} \right )^{p-2}$ como \begin {alineado*} & \left ( \frac {\| \nabla u \|_ \infty }{\| \nabla u\|_p} \right )^{p-2} \\ =& \left ( \frac {\| \nabla u \|_ \infty }{\| \nabla u\|_p} \right )^{p} \frac {\| \nabla u\|_p^2}{\ ~ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \nabla u\|_ \infty ^2} \\ =& \frac {\| \nabla u\|_ \infty ^p}{\| \nabla u\|_ \infty ^p m(K) + \| \nabla u\|_ \infty ^p \int_ { \mathbb R^N - K} \left ( \frac {| \nabla u|}{\| \nabla u\|_ \infty } \right )^p dx} \frac {\| \nabla u\|_p^2}{\ ~ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \nabla u\|_ \infty ^2} \\ =& \frac {1}{ m(K) +{\i} \int_ { \mathbb R^N - K} \left ( \frac {| \nabla u|}{\| \nabla u\|_ \infty } \right )^p dx} \frac {\| \nabla u\|_p^2}{\ ~ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \nabla u\|_ \infty ^2} \end {alineado*} Toma el límite $p \to \infty $ y por el teorema de convergencia dominado por Lebesgue obtenemos $$ \lim_ {p \to\infty } \left ( \frac {| \nabla u |}{\| \nabla u\|_p} \right )^{p-2} = \frac {1}{m(K)}$$ en el set $K$ .

Por lo tanto, la integral $$ \lim_ {p \to\infty } \int_K \left ( \frac {| \nabla u |}{\| \nabla u\|_p} \right )^{p-2} \frac { \nabla u}{\| \nabla u\|_p} \cdot \nabla v dx = \int_K \frac {1}{m(K)} \frac { \nabla u}{\| \nabla u\|_ \infty } \cdot \nabla v dx$$