$\pi$ es dependiente de las propiedades de la geometría, suponiendo que nos definen como $C/d$. Podría haber una geometría donde $\pi$ es un número racional o un número entero?
Respuesta
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Gran pregunta! Vamos a empezar por mirar todos los datos que necesitamos para dar sentido a $\pi$ en el primer lugar.
Usted puede haber oído hablar de métrica espacios antes. Estas son una de las más básicas formas de generalización de la geometría: un espacio métrico es sólo un par de $(X, d)$: una colección de $X$ de los "puntos", junto con una "distancia" de la función $d$, la satisfacción de algunas reglas obvias. Por ejemplo, $(\mathbb{R}, \vert x-y\vert)$ es un espacio métrico; de hecho, el habitual espacio métrico de la estructura de los números reales.
En un espacio métrico, podemos hablar razonablemente bien acerca de los círculos. El círculo de radio $r$ y el centro de la $c$ en un espacio métrico $(X, d)$ es el conjunto de puntos de $y$ tal que $d(y, c)=r$. Sin embargo, esto no es suficiente para definir $\pi$, ya que tenemos otro concepto: la longitud de un círculo, o más en general, la longitud de un arbitrario de la curva.
Cálculo (bueno, límites, para ser exactos) es nuestro amigo aquí. Supongamos $C$ es un círculo. Dado un conjunto finito de puntos de $A=\{a_1, . . . , a_n\}\subseteq C$, nos vamos a la aproximación a través de $A$ ser $$\delta_A=d(a_1, a_2)+d(a_2, a_3)+...+d(a_n, a_1),$$ and the mesh of $Un$ be $$m_A=\max\{d(a_1, a_2),d(a_2, a_3),...,d(a_n, a_1)\}$$ We now let $circ(C)$ be the limit as $m_A$ goes to zero of of $\delta_A$, if this exists; and the point is, we want to restrict attention to metric spaces where $circ(C)$ siempre existe.
Hay (¡literalmente! :P) infinidad de métrica espacios para que este límite existe siempre. Sin embargo, incluso en estos espacios métricos y todavía no podemos hacer necesariamente sentido de $\pi$ - ¿por qué la razón de la circunferencia al diámetro de ser siempre el mismo?
Así que esa es la otra condición que usted necesita para comprobar en un espacio métrico en orden a la conclusión de que la $\pi$ hace sentido: que la razón de la circunferencia de un círculo a dos veces el círculo de un radio no depende de el círculo. Dicho esto, todavía hay un sinnúmero de estos: por ejemplo, considere el $\mathbb{R}^2$ con función de distancia $$d((u,v), (a, b))=\vert u -a\vert+\vert v-b\vert,$$ the so-called "taxicab" metric. A "circle" around a point looks like a square, with sides parallel to the lines $y=x$ and $y=-x$; and the sides are "longer" than they are in the usual Euclidean metric (the line connecting the origin to $(1, 1)$ has length $2$ in the taxicab metric). It's easy to check that here, $\pi$ is indeed $4$.
