Demostrar que $\log(1 + \sqrt{1+x^2})$ es uniformemente continua?

Question

Problema Demostrar que $$\log(1 + \sqrt{1+x^2})$$ es uniformemente continua.

Mi idea es considerar $|x - y| < \delta$ demuestre que $$|\log(1 + \sqrt{1+x^2}) - \log(1 + \sqrt{1+y^2})| = \bigg|\log\bigg(\dfrac{1 + \sqrt{1+x^2}}{1 + \sqrt{1+y^2}}\bigg)\bigg| < \epsilon$$ Pero no pude encontrar una opción para $x, y$ que podría implicar que la expresión anterior es cierta. Completar el cuadrado no parece ayudar en absoluto. ¿Alguna idea?

Answer 1

La derivada de $f(x)=\log(1 + \sqrt{1+x^2})$ es $\frac{x}{1 + x^2 + \sqrt{1 + x^2}}$ que está acotada en toda la recta real ya que es continua y tiende a $0$ como $x\to\pm\infty$ . Por el Teorema del Valor Medio, $f$ es Lipschitz y, por tanto, uniformemente continua.

Answer 2

Tenga en cuenta que $t\mapsto \log t$ es uniformemente continua en $[1,\infty)$ (demostrado más abajo). Obsérvese también que $t\mapsto 1+\sqrt{1+t^2}$ es uniformemente continua en $\mathbb R$ (también demostrado más abajo). Como la composición de funciones uniformemente continuas es uniformemente continua, el resultado se deduce.

Para ver que $\log$ es uniformemente continua en $[1,\infty)$ Fijar $\varepsilon>0$ . Supongamos que $1\leq x<y$ , $y-x<\delta$ . Entonces $y/x<1+\delta/x\leq1+\delta$ y así $$ \log y-\log x=\log \frac y x\leq\log(1+\delta); $$ si elegimos $\delta$ lo suficientemente pequeño para que $\log(1+\delta)<\varepsilon$ hemos terminado.

Para la continuidad uniforme de $g:t\mapsto 1+\sqrt{1+t^2}$ Fijar $\varepsilon>0$ . Elija $x_0$ tal que $\sqrt{1+x^2}>3/\varepsilon$ si $|x|\geq x_0$ . Desde $g$ es continua en el conjunto compacto $[-x_0-1,x_0+1]$ allí es uniformemente continua. Por tanto, existe $\delta_1>0$ tal que $x,y\in[-x_0,y_0]$ con $|y-x|<\delta_1$ implica $|g(y)-g(x)|<\varepsilon$ .

Ahora dejemos que $\delta=\min\{\delta_1,\varepsilon/3,1\}$ . Supongamos que $|x-y|<\delta$ . Si ambos $|x|<x_0$ entonces $|y|<x_0+1$ y así $|g(y)-g(x)|<\varepsilon$ por la continuidad uniforme en el conjunto compacto. Si $|x|\geq|x_0$ entonces $$ |g(y)-g(x)|=|\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}|\leq|\sqrt{1+y^2}-|y||+||y|-|x||+||x|-\sqrt{1+x^2}|\\ \leq\frac1{|y|+\sqrt{1+y^2}}+|y-x|+\frac1{|x|+\sqrt{1+x^2}}<\frac1{\sqrt{1+y^2}}+\frac1{\sqrt{1+x^2}}+\frac\varepsilon3\\ <\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon. $$