Prueba de un generador de números aleatorios no tienen exactamente cinco no-divisores de cero.

Question

Deje $R$ ser un generador de números aleatorios (un anillo que no necesariamente tienen un $1$). Llamamos a un elemento $a$ regular si $xa=0$ implica $x=0$ $ax=0$ implica $x=0$.

Demostrar $R$ no tienen exactamente cinco elementos regulares.

Este problema es de la Galois-Noether la competencia.

Este es el progreso hasta el momento. elementos regulares son cerrados bajo la multiplicación, sus multiplicaciones son cancellative. Por lo tanto, podemos concebir el conjunto de $M$ de elementos regulares, si tenía orden de $5$, entonces sería un finito cancellative semigroup, por lo tanto de un grupo. Desde $5$ es el primer tendría que ser un grupo cíclico. Por lo tanto,$M$, con la multiplicación, sería isomorfo a $\mathbb Z_5$. Yo no ahora, si esto es útil, pero esto es lo que he encontrado, yo también tengo que dar las gracias Anon de chat para su ayuda.

Answer 1

Deje $u$ ser la unidad en el grupo $M$ y deje $S$ el conjunto de elementos de $r\in R$ tal que $ru=ur=r$. A continuación, $S$ es un subrng de $R$ y contiene todos los de $M$, y en el hecho de $S$ es un anillo con unidad de $u$). Nota además de que cualquier unidad de $S$$M$, ya que el $xy=yx=u\in M$ implica $x$ $y$ son regulares. (Edit: De hecho, $S$ es de $R$; ver anon comentario de abajo).

Por lo tanto, se reduce a demostrar que ningún anillo de $S$ puede tener exactamente $5$ unidades. Para mostrar esto, tenga en cuenta que $-1$ es siempre una unidad, sino $\mathbb{Z}/5$ no contiene trivial elementos de orden $2$, por lo que debemos tener $1=-1$$S$. Por lo tanto $S$ es un álgebra sobre $\mathbb{F}_2$. También podemos suponer que $S$ es generado por sus unidades (de lo contrario, considera a la sub-anillo que generan). Así tenemos que el $S$ es isomorfo a algunos cociente del anillo de grupo $\mathbb{F}_2[\mathbb{Z}/5]\cong \mathbb{F}_2\times \mathbb{F}_{16}$. El único de estos cocientes son $0$, $\mathbb{F}_2$, $\mathbb{F}_{16}$, y $\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_{16}$, ninguno de los cuales tienen exactamente $5$ unidades.