Una escuela secundaria de la Olimpiada problema

Question

Deje $p(n)$ denotar el mayor factor principal de $n$. Demostrar que existen infinitos $n$ tal que $$p(n)<p(n+1)<p(n+2).$$

Editar:

Mi solución: Elija $n=\prod_{i=1}^{k}p_i$, producto de la primera $k$ números primos. Esto significa que $n+1=\prod_{i=1}^{k}p_i+1$ es mayor el primer o tiene un factor primo más grande que la de todos los factores de $n$. Todavía no está seguro acerca de $n+2$.

Answer 1

El problema se resuelve en el documento de Erdos y Pomerance "En el más grande de los factores primos de a$n$$n+1$".

La prueba en el papel es bastante simple:

Revisión de un primer $l>2$ y definen $k_0=\inf\{k\mid p(l^{2^k}+1)>l\}<\infty$. Luego tenemos a $p(n)<p(n+1)<p(n+2)$ al $n=l^{2^{k_0}}-1$.