Cómo resolver esta suma sin taylor?

Question

La suma en cuestión es $$\sum_{n=0}^\infty \frac{n(n+1)(n+2)}{n! + (n+1)! + (n+2)!}$$

La suma puede ser simplificado aún más en $$\sum_{n=0}^\infty \frac{n(n+1)^2}{(n+2)!}$$ With Taylor expansion allowed, I don't think it's hard to derive it from expansion of $e^x$.

Answer 1

Sugerencia: a partir de OP de la simplificación, la siguiente telescopio muy bien:

$$ \begin{align} \frac{n(n+1)^2}{ (n+2)!} &= \frac{(n+2)(n+1)n - (n+2)(n+1) + 2(n+2) -2}{(n+2)!} \\[5px] &= \frac{1}{(n-1)!} -\frac{1}{n!} + \frac{2}{(n+1)!} - \frac{2}{(n+2)!} \end{align} $$

Answer 2

Como $n(n+1)^2$ $O(n^3),$

escribir $n(n+1)^2=(n+2)(n+1)n+ A(n+2)(n+1)+B(n+2)+C$

de modo que $$\dfrac{n(n+1)^2}{(n+2)!}=\dfrac1{(n-1)!}+\dfrac A{n!}+\dfrac B{(n+1)!}+\dfrac C{(n+2)!}$$

$n=-2\implies C=(-2)(-2+1)^2=-2$

La comparación de los coeficientes de $n^2,$ $$2=3+A\iff A=-1$$

La comparación de los coeficientes de $n,$ $$1=2+3A+B\iff B=1-2-3A=2$$

Curiosamente, esto conduce a una Telescópico de la serie,

de otra manera, teníamos que usar $$e^y=\sum_{r=0}^\infty\dfrac{y^r}{r!}$$