Totalmente ramificado extensiones de $\mathbb{Q}_p$

Question

Hay un teorema que le da todas las unramified extensiones de $\mathbb{Q}_p$: corresponden a las extensiones finitas de los residuos de campo $\mathbb{F}_p$. Hay un resultado similar para totalmente ramificado extensiones?

Tengo una más específica pregunta, estoy tratando de encontrar todos los grados de tres extensiones de $\mathbb{Q}_2$. La ramificación del índice es 1 (en cuyo caso la extensión es unramified), o 3 (en cuyo caso es totalmente ramificado). Yo sé exactamente cómo construir un unramified extensión de grado 3 -$\mathbb{Q}(\zeta_{2^3-1}) = \mathbb{Q}(\zeta_7)$. Pero no estoy seguro de qué hacer con la totalmente ramificado.

Sé que $\mathbb{Q}_{\zeta_{2^m}}$ son totalmente ramificado extensiones de $\mathbb{Q}_2$, pero ninguno de tales campo tiene grado 3, debido a que $[\mathbb{Q}_{\zeta_{2^m}}:\mathbb{Q}_2]=2^{m-1}$.

Sé que $\mathbb{Q}_2$ adjunto una raíz de una Eisenstein polinomio sería totalmente ramificada, por lo que puedo adjunto una raíz de $X^3-2$, lo que me da totalmente ramificado grado 3 extensión.

Es que todo eso?

Edit: también sé que todas totalmente ramificado, las extensiones son obtenidos por adjoinint una raíz de una Eisenstein polinomio, pero es que aún no me digas cómo encontrar a todos ellos.

Answer 1

Este es un ejercicio que nunca lo he hecho, pero debe ser un montón de diversión. ¿Cuál es el general de Eisenstein polinomio en este caso? va a ser $$ X^3 + 2aX^2+2bX+2(1+2c)\,, $$ donde $a$, $b$, y $c$ puede ser cualquier $2$-ádico enteros. Observe que el término constante tiene que ser indivisible por cualquier poder superior de $2$, por lo que de forma $2$ veces una unidad, y las unidades de $\Bbb Z_2$ son exactamente las cosas de la forma $1+2c$. Por lo que su espacio de parámetros es $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$, agradablemente compacto, y un resultado general de Krasner dice que si que se agitan los coeficientes a poco, la extensión no cambia. Usted puede ser capaz de utilizar todo esto para la construcción de su (un número finito de campos.

No se mucho de una respuesta, lo sé, pero era demasiado largo para un comentario. Es una buena pregunta, sin embargo, y creo que me voy a preocupar un poco.

EDITAR - Expansión:

Me dice que no encuentra por encima, pero esa no es la manera de ver este problema. Como he llegado a la solución, me di cuenta de que en realidad hay dos preguntas aquí. Consideremos el caso más simple, que usted ha mencionado, el de Eisenstein polinomio $X^3-2$. Si usted pensar de forma abstracta, hay sólo una extensión de $\Bbb Q_2$ aquí, pero si piensas en los subcampos de algunos algebraicamente cerrado que contiene el campo, hay tres campos, generados por $\lambda$, $\omega\lambda$, y $\omega^2\lambda$ donde $\lambda$ es un elegido raíz cúbica de a $2$ $\omega$ es una primitiva raíz cúbica de la unidad.

Como de costumbre, si se toma la muestra cúbica de arriba y hacer una sustitución de $X'=X-2a/3$, obtendrás un nuevo Eisenstein polinomio, pero sin un término cuadrático. Ahora, si usted calcular el discriminante de $X^3+2bX+2(1+2c)$, obtendrá $\Delta=-32b^3-27(1+4c+4c^2)$; y desde $c$ $c^2$ tienen la misma paridad, obtenemos $\Delta\equiv-3\pmod8$, definitivamente no es un cuadrado, de hecho,$\sqrt\Delta\in\Bbb Q(\omega)$, apenas una sorpresa, supongo. Y la división de campo de nuestro polinomio será un cúbicos de extensión de $k=\Bbb Q_2(\omega)$, todos los que sabemos. Sólo necesitamos calcular el grupo de $k^*/(k^*)^3$, y sus subgrupos cíclicos (de orden $3$) nos dirá el cúbicos extensiones de $k$. Que Kummer Teoría, como estoy seguro que usted sabe.

Vamos a llamar a $\Bbb Z_2[\omega]=\mathfrak o$, que es el anillo de enteros de $k$. Para saber $k^*/(k^*)^3$ tenemos que buscar en los grupos de $1+2\mathfrak o\subset \mathfrak o^*\subset k^*$. Ahora el director de las unidades de $1+2\mathfrak o$ son exclusivamente $3$-divisible, por lo que no contribuye a $k^*/(k^*)^3$; la siguiente capa, $\mathfrak o^*/(1+2\mathfrak o)$ es cíclico de orden $3$, generado por $\omega$, e $k^*/\mathfrak o^*$ es infinito cíclico, que es el valor del grupo. Por lo $k^*/(k^*)^3$ es de dimensión dos, como una $\Bbb F_3$-espacio vectorial, y tiene sólo cuatro uno-dimensiones de los subespacios. Uno es atravesado por $\omega$, y de sus raíces cúbicas generar un unramified extensión, por lo que no es de interés para nosotros. Los otros tres son atravesados por $2$, $2\omega$, y $2\omega^2$. ( ! )

Y eso es todo. Contrario a mis expectativas, y tal vez la tuya, la única cúbicos ramificado extensiones de $\Bbb Q_2$ dentro de una expresión algebraica de cierre son los tres que he mencionado en el primer párrafo de esta Edición.

Answer 2

El OP pregunta para la determinación de todos los ramificado cúbicos extensiones de $\mathbf Q_2$, pero creo que Lubin (impecable) prueba da más : $\mathbf Q_2 (\omega, \sqrt [3] 2)$ es la única ramificado diedro extensión de $N/\mathbf Q_2$ grado $6$ ($N/\mathbf Q_2$es normal, con grupo de Galois $\cong D_6 \cong S_3)$ y el índice de ramificación $\ge 3$. En efecto :

1) De $\mathbf {Q^*_2}\cong \mathbf Z \times \mathbf Z_2 \times \mathbf Z/2$, se deduce que el $\mathbf {Q^*_2}/\mathbf {Q^*_2}^3 \cong \mathbf Z/3$, y locales CFT nos dice que $\mathbf Q_2$ admite un único normal cúbicos de extensión, que es, naturalmente, el unramified uno. Así que nuestro diedro $N$ debe ser el normal de cierre de una cúbico normal no ramificado extensión de $K/\mathbf Q_2$ .

2) se sabe que ese $K$ es de la forma $\mathbf Q_2 (\alpha)$ donde $\alpha$ es una raíz de un monic Eisenstein polinomio $f\in \mathbf Z_2 [X]$, y la normal de cierre de $N$ $K$ es la división de campo de la $f$. Debido a $S_3$ tiene un único subgrupo de índice $2$ (necesariamente normal), $N$ contiene un único cuadrática subcampo, que no es otro que el de $\mathbf Q_2 (\sqrt \Delta)$ donde $\Delta$ es el dicriminant de $f$. Por Kummer la teoría, y ligeramente abusando del lenguaje, la cuadrática extensiones de $\mathbf Q_2$ se obtuvo mediante la toma de las raíces cuadradas de los representantes de las clases de $\mathbf {Q^*_2}/\mathbf {Q^*_2}^2$. Un conjunto completo de representantes es {$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$} (ver, por ejemplo, Serre "Un curso de aritmética", fin de la cap. II), por lo $\Delta$ debe ser (multiplicatively) congruentes mod $\mathbf {Q^*_2}^2$ a uno y sólo uno de ellos (excluyendo $1$). Pero se ha demostrado por Lubin que $\Delta \equiv -3$ mod $8$, por lo tanto $-3.\Delta \equiv 1$ mod $8$. Desde cualquier $2$-ádico de una unidad de $\equiv 1$ mod $8$ es un cuadrado (Serre, op. cit.), uno llega a la conclusión de que $\mathbf Q_2 (\sqrt \Delta)=\mathbf Q_2 (\sqrt {-3})=\mathbf Q_2 (\omega)$, por lo tanto $N$ tiene la forma deseada. Los tres se ramifica a cúbicos extensiones de $\mathbf Q_2$ son entonces los subcampos de $N$ fijado por los tres relatos en $S_3$ .

PD : se podría evitar calcular el discriminante, a partir del hecho de que la ramificación condición en $3$ implica que el $3 \mid \Delta$ .

Answer 3

Si se considera cualquier ramificado extensión diría que no podemos esperar que una teoría general tan simple como la unramified caso. Marque esta pregunta.

Sin embargo, hay una agradable descripción de la abelian extensiones de campo local $K$ dado por la teoría de Lubin-Tate grupos formales, locales campo de la clase de teoría. Por ejemplo, puede describir todos los abelian ramificado extensiones de campo local. Esto ayuda a que en su caso probar que cada cúbicos (totalmente) ramificado extensión de $\mathbb Q_2$ no es Galois. En efecto, si tal cosa existe es un abelian extensión. Local de campo de clase de teoría construye un grupo de homomorphism $$ \mathbb Q_2^\times \longrightarrow Gal(\mathbb Q_2^{ab}/\mathbb Q_2) $$ con unos interesantes propiedades. Por ejemplo, el índice de n subgrupos de $\mathbb Q_2^\times$ corresponden bijectively a abelian grado-n de las extensiones de $\mathbb Q_2$.

El grupo $\mathbb Q_2^\times \simeq \mathbb Z\times \mathbb Z_2\times \{\pm1\}$ tiene un índice-3 subgrupo, $3\mathbb Z\times \mathbb Z_2\times \{\pm1\}$. Por la unicidad $\mathbb Q_2(\zeta_7)$ es la única Galois cúbicos de extensión de $\mathbb Q_2$.

Así, cúbico ramificado extensiones de $\mathbb Q_2$ han diedro de Galois de cierre. Tal vez el próximo paso es el estudio de $D_3$- extensiones de Galois de $\mathbb Q_2$. Curvas elípticas proporcionan algunos ejemplos, supongo.