Si $A$ es $2\times2 $ matriz tal que $\operatorname{tr} A =\det A=3$ entonces el rastro de $A^{-1}=$

Question

Si $A$ es $2\times2 $ matriz tal que $\operatorname{tr} A=\det A=3$ entonces el rastro de $A^{-1}$ ¿es?

$(A) \quad 1 \qquad (B) \quad \dfrac{1}{3} \qquad (C) \quad \dfrac{1}{6} \qquad (D) \quad\dfrac{1}{2}$

Lo hice de esta manera:

$$\lambda_1+\lambda_2 = 3 $$ $$\lambda_1\cdot\lambda_2=3$$ $$\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2} \implies \frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1\lambda_2} \implies \frac{3}{3}=1$$

Estoy practicando este tipo de preguntas y después $5$ minutos de indagación llegué a esta respuesta. Quiero saber si hay algún enfoque alternativo para resolver este problema.

Answer 1

Utiliza la siguiente fórmula fácil y agradable: $$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}.$$

Answer 2

El polinomio característico de $A^{-1}$ para cualquier invertible $n \times n$ matriz es $$P_{A^{-1}}(X)=\det(xI-A^{-1})=\det(A^{-1}) \det(xA-I)=x^n\det(A^{-1})\det(A-\frac{1}{x}I)\\=(-1)^nx^n \det(A^{-1}) P_{A}(\frac{1}{x})$$

Ahora utiliza el hecho de que para un $2\times 2$ el polinomio característico es $$P_B(x)=x^2-\operatorname{tr}(B)x+\det(B)$$

Answer 3

Los valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$ son las raíces del polinomio característico $\det(A-\lambda 1)=a\lambda^2+b\lambda+c$ , donde $a,b,c$ son números reales. Es fácil ver que $a=1$ . Siendo el polinomio de segundo grado, la suma de sus raíces es $\lambda_1+\lambda_2=-b/a=3$ y su producto $\lambda_1\cdot\lambda_2=c/a=3$ . Entonces el polinomio característico es $\lambda^2-3\lambda+3$ . Las raíces pueden ser calculadas por Bhaskara y son iguales a $\frac{3\pm i\sqrt{3}}{2}$ . El rastro de $A^{-1}$ es la suma de los valores propios inversos para $A$ : $$ \frac{2}{3+i\sqrt{3}}+\frac{2}{3-i\sqrt{3}}=1. $$

Answer 4

Cada matriz satisface su propia ecuación característica por lo que

$A$ satisface

• $A^2-\operatorname{tr}(A)A+\det(A)I=0 $

  y $A^{-1}$ satisface

• $A^{-2}-\operatorname{tr}(A^{-1})A^{-1}+\det(A^{-1})I=0$ .

Al multiplicar ambos lados de la primera ecuación por $A^{-2}$ y dividiendo por $\det(A)$ podemos obtener fácilmente la forma de la segunda.

Editar
Es decir

$$A^{-2}A^2-\operatorname{tr}(A)A^{-2}A+\det(A)IA^{-2}=0$$

$$I -\operatorname{tr}(A)A^{-1}+\det(A)A^{-2}=0$$

Tras cambiar el orden de los sumandos y dividir por $\det(A)$

$$A^{-2}- \frac{1}{\det(A)}\operatorname{tr}(A)A^{-1}+\frac{1}{\det(A)}I=0.$$

Comparando la última ecuación con la segunda $\bullet$ finalmente obtenemos

$$\operatorname{tr}(A^{-1})=\frac{\operatorname{tr}(A)}{\det(A)}$$

Answer 5

\begin {align} \lambda_1 + \lambda_2 = 3 \\ \lambda_1\lambda_2 = 3 \end {align} Así se obtiene $\lambda_2 = \dfrac 3 {\lambda_1},$ por lo que la primera ecuación anterior se convierte en $$ \lambda_1 + \frac 3 \lambda_1 = 3. $$ Multiplica ambos lados por $\lambda_1$ y tienes una ecuación cuadrática ordinaria.

La respuesta publicada por "N.S." también conduce a la misma ecuación cuadrática.