Demostrando resultados en teoría de la representación a partir de la categoría de la teoría

Question

Mi pregunta aquí es, principalmente, una referencia de la solicitud. Sé una buena cantidad de la teoría de representaciones de grupos finitos. Me encontré con esta pregunta

¿Qué tan lejos puedo desarrollar la teoría de la representación a partir de la categoría de la teoría?

sobre una conexión entre la teoría de la representación y a la categoría de teoría. En particular, la bonita respuesta dada hace que el punto (si estoy leyendo bien) que algunos de los resultados en teoría de la representación son consecuencias de los resultados en la categoría de teoría. Por ejemplo Frobenius la reciprocidad sigue de "contigüidad". He estado buscando una referencia a esto. Me siento cómodo hablando de categorías y functors, pero sé que sólo lo que necesitan para sobrevivir.

Me gustaría ver una referencia de dar algunos detalles de cómo se puede demostrar cosas como Frobenius de reciprocidad a partir de la categoría de teoría. Me gustaría, por supuesto, también será feliz con una respuesta que da algunos detalles.

Answer 1

Yo diría que no es del todo correcto decir que uno puede demostrar Frobenius reciprocidad mediante la categoría de la teoría. La declaración de Frobenius la reciprocidad es un ejemplo de la contigüidad: para un homomorphism de los anillos de $R \to S,$ $R$- módulo de $M$ e una $S$-módulo de $N$ el mapa

$$\mathrm{Hom}_R(M, \mathrm{Res}(N)) \to \mathrm{Hom}_S(S \otimes_R M, N)$$ given by $\phi \mapsto \psi$ with $\psi(s \otimes m)=s \phi(m)$ is an isomorphism of bifunctors. This is an adjunction $(S \otimes_R \cdot, \mathrm{Res})$. Pero uno se demuestra el uso de este anillo básico de la teoría (no es difícil: escribir la inversa mapa). Aplicando esto a los grupos de anillos y tomando los personajes le da el carácter de la teoría de la versión.

Un ejemplo más grave de uso categoría de teoría para demostrar que un enunciado en la teoría de la representación es Chuang-Rouquier la prueba de Broue del abelian defecto grupo conjetura para grupos simétricos. Esto se ha convertido en el prototipo de las aplicaciones de la categoría de teoría en teoría de la representación. Usted no puede ir mal al leer el artículo original:

http://www.math.ucla.edu/~rouquier/papers/dersn.pdf

La idea es una típica en la matemática moderna: demostrar algo, primero generalizar es un camino que simultáneamente rigidifies el problema al mismo tiempo que pone en un universo más grande, donde más herramientas puede ser ejercida.