Para simplificar, vamos a la Tierra fuese una esfera perfecta. Imagine que usted es el dibujo de un triángulo equilátero sobre su superficie. ¿Cuánto tiempo debo de sus lados, por la suma de sus ángulos para ser 180.1 grados?
Respuestas
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El área de un triángulo esférico es exactamente $ER^2$ donde $E$ es el ángulo de exceso. En nuestro caso $E=\frac{\pi}{1800}$, por lo que el triángulo dado cubre $\frac{1}{7200}$ de la superficie de la Tierra. Asumiendo $R=1$, l'Huilier la fórmula (página 184 de mis notas) se relaciona el ángulo de exceso / el área de la semiperimeter / las longitudes de los lados a través de $$ \tan\frac{E}{4}=\sqrt{\tan\frac{s}{2}\tan\frac{s-a}{2}\tan\frac{s-b}{2}\tan\frac{s-c}{2}} $$ y en nuestro caso, contamos $a=b=c=\ell$$s=\frac{3}{2}\ell$, por lo que
$$ E = \frac{\pi}{1800} = 4\arctan\sqrt{\tan\frac{3\ell}{4}\tan^3\frac{\ell}{4}} $$ y mediante la resolución de $$ \tan\frac{3\ell}{4}\tan^3\frac{\ell}{4}=\tan^2\frac{\pi}{7200} $$ tenemos que $\ell$ es de aproximadamente $6.347\%$ de la radio de $R$.
Para la Tierra, $R =6\ 371$ km, y $\ell = 404.377$ km.
user8734617
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11
Deje $r$ ser el radio de la Tierra; el área de un triángulo entre el ecuador y los dos meridianos $90^\circ$ aparte es $\frac{r^2\pi}{2}$ y tiene un defecto de $270^\circ-180^\circ=90^\circ$. Ahora queremos un triángulo con $900$ veces más pequeño defecto, lo que significa que es necesario disponer de $900$ veces menor área: $\frac{r^2\pi}{1800}$.
Ahora voy a no calcular el lado de la esférica triángulo equilátero (para la zona), pero una planar uno, esperando (sin prueba!) que esto no hará una gran diferencia. Por lo tanto, el lado es de aproximadamente $\sqrt{\frac{4}{\sqrt 3}\frac{r^2\pi}{1800}}=r\sqrt{\frac{\pi}{450\sqrt 3}}\approx 404\text{ km}$.
JSX
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62
Considere la posibilidad de un triángulo esférico triángulo con las longitudes de los lados $a$ y ángulos $A$, por el suplementario coseno regla https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_trigonometry#Identities
\begin{eqnarray*} \cos(A) =- \cos^2(A)+\sin^2(A) \cos(a) \\ \cos(a) =\frac{\cos(A)+\cos^2(A)}{\sin^2(A)} =\frac{\cos(A)}{1-\cos(A)} \end{eqnarray*} Ahora tenemos $A=60.0333\cdots$, lo que da $a=3.6\cdots$.
Para obtener la distancia en una esfera de radio $r$ calcular el $ra\pi/180$.
