Hacer anillos cociente tiene sentido geométrico, o intuición geométrica?

Question

Me pregunto si el cociente de los anillos tiene ningún sentido geométrico. Por ejemplo, estoy tratando de identificar el anillo de $\mathbb Z[x]/(x^2-3, 2x+4)$ y estoy tratando de pensar acerca de celosía puntos y el polinomio de gráficos, pero es un poco abrumador.

Pero incluso algo más simple como $\mathbb Z[x]/(x^2)$. Ya que estamos de modding por $x^2$, entonces nos quedará lineal entero de polinomios. ¿Qué hacen estos anillos en un sentido geométrico?

Answer 1

Muchos de los principios de la geometría algebraica fue motivada por tratar de ver los anillos como un conjunto de funciones en el espacio. En el análisis real, uno común anillo de uno de los estudios es el anillo de $\mathcal C[0,1]$ de todas las funciones continuas $f : [0, 1] \to \mathbf R$ (o $\to \mathbf C$). De hecho, esta es una $\mathbf R$-álgebra, es decir, si $f, g \in \mathcal C[0,1]$ $\lambda, \mu \in \mathbf R$

• $\lambda f + \mu g \in \mathcal C[0,1]$ y

• $fg \in \mathcal C[0,1]$

• la constante cero de la función actúa como un aditivo de identidad

• la constante de una función actúa como una identidad multiplicativa

De manera más abstracta, uno puede mirar a $\mathcal C(X)$ de real continua de las funciones con valores en un espacio métrico compacto o un compacto Hausdorff espacio.

En geometría diferencial, una ve $\mathcal C^{\infty}(M)$, el álgebra de las funciones lisas en un suave colector.

En álgebra queremos hacer la misma cosa. Excepto, no queremos mirar todas las funciones continuas, o incluso de todas las funciones lisas. Las funciones que queremos ver son las funciones que aparecen en el álgebra: funciones polinómicas.

Desde $\mathcal C[0,1]$ $\mathbf R$- álgebra, podría parecer natural a primer vistazo a $\mathbf R$-álgebras pero, de hecho, vamos a querer utilizar los números complejos en primer lugar. $\mathbf C$ es algebraicamente cerrado, una propiedad que vamos a ver es importante más adelante.

El primer ejemplo de una expresión algebraica anillo de funciones es $\mathbf C[x_1,x_2,\dots,x_n]$, el álgebra de polinomios. Dado un polinomio $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$, se puede tratar como una función de $\mathbf C^n \to \mathbf C$.

Ahora vamos a decir que no queremos que nuestro dominio a todos los de $\mathbf C^n$. Ya que este es el álgebra, queremos usar una expresión algebraica de dominio. Ese dominio será un subconjunto de a $\mathbf C^n$ que puede ser definida por polinomios. En concreto, estamos interesados en ecuaciones polinómicas:

$$ f(x_1,x_2,\dots,x_n) = g(x_1,x_2,\dots,x_n). $$

Si restamos, se nota que el conjunto solución de esta ecuación puede ser escrita como $X = \{(a_1,\dots,a_n \in \mathbf C^n : (f - g)(a_1,\dots,a_n) = 0\}$. $X$ es nuestro segundo ejemplo de lo que se conoce como una "variedad" (el primer ejemplo se $\mathbf C^n$). Una variedad es un subconjunto de a $\mathbf C^n$ el cual puede ser escrito como la fuga de un conjunto de polinomios. Es decir, una variedad es un conjunto $X$ de la forma

$$ X = \mathcal V(S) = \{(a_1,\dots,a_n) \in \mathbf C^n : f(a_1,\dots,a_n) = 0, \forall f \in S\}. $$

Ejercicio: demostrar que si $I$ es el ideal generado por el conjunto de $S$$\mathcal V(S) = \mathcal V(I)$. Esto demuestra que todas las variedades se muestran como fuga conjuntos de ideales.

Para una variedad $X$ (de hecho, para cualquier subconjunto de a $\mathbf C^n$) se puede definir una importante algebraicas invariantes conocido como el "ideal de $X$" que es, por definición,

$$ \mathcal I(X) = \{f \in \mathbf C[x_1,\dots,x_n] : f(a_1,\dots,a_n) = 0, \forall (a_1,\dots,a_n) \in X\}. $$

(Ejercicio: comprobar que esto es de hecho un ideal).

Un importante teorema debido a Hilbert, llamado el Nullstellensatz (Cero Puntos Teorema en inglés) dice lo siguiente.

Teorema Si $k$ es algebraicamente cerrado de campo, $I \subseteq k[x_1,\dots,x_n]$ es un ideal y $X = \mathcal V(I) \subseteq k^n$ es la correspondiente variedad. A continuación, el ideal de la $X$ es el conjunto de funciones de $f \in k[x_1,\dots,x_n]$ tal que $f^r \in I$ algunos $r \ge 1$. (Usted puede comprobar que si $f^r \in I$ $f^r$ es idéntica $0$$\mathcal V(I)$, lo que significa que $f$ es idéntica $0$, la parte difícil es la convers.)

Veamos la ecuación de $x^2 + y^2 = 1$ (un círculo). La correspondiente variedad es

$$ X = \mathcal V(\{x^2 + y^2 - 1\}) = \{(a,b) \in \mathbf C^2 : a^2 + b^2 - 1 = 0\}. $$

Por el Nullstellensatz, el ideal de la $X$ $I = \langle x^2 + y^2 - 1 \rangle$ (si me crees que este ideal tiene la propiedad de que $f^r \in I \implies f \in I$).

Ahora nos preguntamos: ¿cuáles son las funciones polinómicas $f : X \to \mathbf C$? Ya que el dominio es $X$, estamos de acuerdo en que dos funciones $f, g$ son iguales si $f(a,b) = g(a,b)$ todos los $(a,b) \in X$ (es decir, en el dominio). Bueno, si $f(a,b) = g(a,b)$ todos los $(a,b) \in X$ $(f - g)(a,b) = 0$ todos los $(a,b) \in X$. I. e. $f - g \in I$ (es decir, en el ideal de la $X$). Por lo tanto, las funciones polinómicas $X \to \mathbf C$ es el anillo

$$ \mathbf C[X] = \mathbf C[x,y]/\langle x^2 + y^2 - 1 \rangle. $$

Siguiendo este ejemplo, definimos el anillo de coordenadas de una variedad $X$ a ser el anillo

$$ \mathbf C[X] = \mathbf C[x_1,\dots,x_n]/\mathcal I(X) $$

puesto que dos de las funciones de $X \to \mathbf C$ está de acuerdo en $X$ fib, su diferencia está en $\mathcal I(X)$.

Clásicos de la geometría algebraica fue todo sobre el estudio de estos coordinar los anillos y sus correspondientes variedades. Eventualmente, la gente le preguntó: ¿coordinar los anillos tienen que mirar como un cociente de $\mathbf C[x_1,\dots,x_n]$, o podemos utilizar cualquier anillo? Aquí es donde la teoría de los Esquemas comienza.

Si tenemos un polinomio univariado $f(x)$$\mathbf C$, sabemos que se puede escribir como producto de lineal de los polinomios:

$$f(x) = c(x - r_1)(x - r_2) \dots (x - r_n).$$

Como te habrás dado cuenta, mucho de lo que podemos hacer con las variedades fue simplemente la determinación de si o no $f(a) = 0$ o no. Con esta factorización se puede decir que el $f(a) = 0$ fib $a \in \{r_1,\dots,r_n\}$.

Pero este no es el único anillo donde tenemos la factorización. Los enteros también. Si me entero, como $4020$. Puedo factor en los números primos:

$$ 4020 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67. $$

En un momento de inspiración, yo podría incluso ir tan lejos como para definir el conjunto de fuga de $4020$

$$ \mathcal V(4020) = \{2, 3, 5, 67\}.$$

Se puede ver, nuestros puntos de $\mathbf C^1$ eran realmente el primer ideales a lo largo de todos: el punto de $a \in \mathbf C^1$ fue realmente el ideal de $\langle x - a \rangle$ en el disfraz. El punto de $(a_1,\dots,a_n) \in \mathbf C^n$ fue realmente el ideal de $\langle x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n \rangle$. Nuestras funciones, fueron realmente las funciones en el conjunto del primer ideales.

Si $f \in \mathbf C[x_1,\dots,x_n]$

$$ f(x_1,\dots,x_n) \equiv f(a_1,\dots,a_n) \mod \langle x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n \rangle. $$

Diciendo que $f(a_1,\dots,a_n) = 0$ es lo mismo que decir que

$$ f(x_1,\dots,x_n) \equiv 0 \mod \langle x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n \rangle. $$

Dado un entero $f$, puedo ver $f$ como una función en el conjunto de los números primos donde

$$ f(p) = f \bmod p. $$

Por ejemplo, si $f = 4020$$f(2) = 4020 \mod 2 = 0 \mod 2$. Asimismo,$f(3) = 0 \mod 3$$f(5) = 0 \mod 5$$f(67) = 0 \mod 67$. También podemos decir que el $f(7) \ne 0 \mod 7$.

Al continuar el estudio de los Esquemas, verá cómo tomar en cuenta los diferentes anillos. Por ejemplo, ¿qué pasa si utilizamos $\mathbf R$ en lugar de $\mathbf C$? O por cualquier campo que importa. Cómo podemos dar cuenta nilpotents?

Un nilpotent $f$ en un anillo de $R$ es un elemento no nulo tal que $f^r = 0$ para algunos de potencia $r \ge 2$. El problema con nilpotents es que no se comportan bien con la función de la analogía. Si usted tiene una función de $f : X \to \mathbf C$ tal que $f^r = 0$, por lo general, prefieren si $f = 0$.

Answer 2

Voy a agregar una segunda respuesta, porque en mi primer respuesta es ya bastante larga y quiero explicar una imagen diferente y nadie ha respondido todavía.

Usted puede oír de que $\mathbf R/2\pi\mathbf Z$ o $\mathbf R/\mathbf Z$ es un círculo. Veamos por qué. Deje $$\mathbf S^1 = \{(a,b) \in \mathbf R^2 : a^2+b^2=1\}$$ ser del círculo unidad. ¿Qué significa para dar una función continua

$$ f : \mathbf S^1 \to \mathbf R? $$

Podemos ver esta función en dos variables $f(x,y)$ pero de alguna manera esto no es lo que queremos. Al dibujar el círculo, verá un 1-dimensiones de la figura:

                                                                

Así que lo ideal de lo que nos gustaría es una función de una variable. Por suerte, el círculo tiene un parámetro 1-parametrización $(\cos t, \sin t)$. Así que nuestra función en dos variables, $f(\cos t, \sin t)$, se convierte en una función de una variable: $f(t)$ donde $t$ es el ángulo. Desde los ángulos $t$$t + 2\pi$$t + 4\pi$, etc. todos representan el mismo punto, tenemos

$$ f(t + 2\pi n) = f(t), \forall n \in \mathbf Z. $$

Es decir, una función

$$ f : \mathbf S^1 \to \mathbf R $$

es una función

$$ f : \mathbf R \to \mathbf R $$

que es periódica. Para describir una función periódica, sólo se necesita para dar los valores de las funciones en el intervalo de $[0,2\pi)$ desde cualquier ángulo es equivalente a un ángulo en $[0,2\pi)$. El cociente $\mathbf R/2\pi\mathbf Z$ se compone de clases de equivalencia en virtud de la relación $x \sim x + 2\pi n$. Es decir,

$$\mathbf R/2\pi\mathbf Z = \{ \{x + 2 \pi n : n \in \mathbf Z\} : x \in [0,2\pi)\}. $$

Una función periódica $f : \mathbf R \to \mathbf R$ es constante en cada clase de equivalencia. I. e. para todos $a, b \in \{x + 2 \pi n : n \in \mathbf Z\}$, $f(a) = f(b)$. Así que tiene sentido hablar de la $f$ como una función que toma una clase de equivalencia $\{x + 2 \pi n : n \in \mathbf Z\}$ $f(x)$ya que el número de múltiplos de $2\pi$ añadimos, no afectan el valor de $f$. Así una función en el círculo es una función

$$ f : \mathbf R/2\pi\mathbf Z \to \mathbf R. $$

Podemos imaginar que esta en una forma diferente, diciendo que $\mathbf S^1$ se obtiene tomando el segmento de la línea de $[0,2\pi]$ y pegar los dos extremos juntos:

                                            

Si te gusta, esta es una continua analógica de la discreta cociente grupo, $\mathbf Z/n\mathbf Z$.

Podemos extender esta construcción a dimensiones superiores. Voy a utilizar sólo $2$ dimensiones, porque es más fácil de dibujar. Veamos el plano de $\mathbf R^2$ y considere dos vectores $\vec{v}$ $\vec{2}$ con coordenadas enteras. E. g. $\vec v = (2,1)$ $\vec{w} = (-1,3)$:

                           

Ahora tomamos todas entero combinaciones de estos vectores (es decir,$m\vec v + n \vec w, m, n \in \mathbf Z$).:

                           

Estos entero combinaciones forman un entramado, que vamos a donote por la letra griega lambda, $\Lambda$. Una función

$$ f : \mathbf R^2/\Lambda \to \mathbf R $$

es una función de dos variables, $f(x,y)$, la cual es periódica en dos direcciones. Para el entramado $\Lambda$ generado por $(2,1)$$(-1,3)$, lo que significa que

$$ f(x,y) = f(x + 2, y + 1) = f(x - 1, y + 3) = f((x,y) + m\vec{v} + n \vec{w}) $$

para todos los $(x,y) \in \mathbf R^2$$(m,n) \in \mathbf Z^2$.

Esto corresponde a pegar los bordes opuestos de uno de los paralelogramos en nuestro entramado a la forma de un toro. Cuando nos pegue dos lados opuestos que primero hay que obtener un cilindro, y cuando nos pegar los dos extremos del cilindro se forma de un toro.

Para $\mathbf Z[x]/(x^2)$ estamos haciendo un tipo similar de encolado, excepto que en vez de unir puntos en $\mathbf R^2$ juntos, estamos pegando puntos en $\mathbf Z[x]$ (es decir, los polinomios) juntos. El conjunto lineal de los polinomios, $a + bx$ corresponde a la paralelogramo en la red. Cualquier polinomio $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n$ está pegado a sus lineal de la pieza:

$$ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n \equiv a_0 + a_1 x \bmod x^2. $$

Usted debe pensar en el $\mathbf Z[x]/(x^2)$ como un anillo de primer orden (es decir, lineal) aproximaciones de Taylor para funciones. Por ejemplo

\begin{align} e^x &\approx 1 + x \\ \log(1 - x) &\approx x \\ (1 + x)^n &\approx 1 + nx. \end{align}

Esta es la forma en la (co)el espacio de la tangente de un buen colector de surge. En suave colector de teoría, uno está interesado en aproximaciones de Taylor de las funciones lisas, en geometría algebraica nos limitamos a funciones polinómicas. La idea, sin embargo, sigue siendo el mismo.

Nilpotents en un anillo corresponden a los vectores de tangentes. O, más en general, a los chorros, que son los de orden superior Taylor aproximaciones.