suma de los cubos de dos racionales

Question

Cómo encontrar dos números racionales $x,y$ tal que $$x^3+y^3=6$$ I know that $x=17/21,y=37/21$ es una solución, pero estoy interesado en un método de cómo se logra y no existe otras soluciones

Answer 1

Soluciones de $z$ de la ecuación de diophantine $x^3 + y^3 = 6z^3$ son tabulados en la Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros. Sólo $4$ se dan (aunque infinitamente existen muchos): $21$, $960540$, $16418498901144294337512360$, y $436066841882071117095002459324085167366543342937477344818646196279385$ $305441506861017701946929489111120$.

Ver también este mathforum post, y el artículo, El £$450$ pregunta, por J. H. E. Cohn, Matemáticas Revista 73, Nş 3 (Jun., 2000) 220-226.

EDIT: de Hecho, Cohn da una solución, no en el OEIS, y más pequeña que la última solución: $$z=1097408669115641639274297227729214734500292503382977739220$$ Es un muy buen papel.

Answer 2

Esta es una vieja pregunta, pero de todos modos. Dada una solución inicial $x,y,z$,,

$$ax^3+by^3 = cz^3$$

luego uno nuevo puede ser derivada como,

$$a(-bxy^3-cxz^3)^3 + b(ax^3y+cyz^3)^3 = c(-ax^3z+by^3z)^3\tag{0}$$

Por ejemplo, dada la OP,

$$x^3+y^3 = 6z^3$$

comenzando con la inicial,

$$x,y,z = 17, 37, 21\tag{1}$$

el uso de $(0)$, encontramos un segundo,

$$x,y,z = -1805723,\, 2237723,\, 960540\tag{2}$$

que es el punto dado por Myerson y Yazdanpour. El uso de $(2)$, podemos encontrar una tercera y así sucesivamente, ad infinitum.

P. S. 1. Presumiblemente, un resultado positivo de $x,y,z$ aparecerá después de cada número de iteraciones. 2. Por alguna razón, la solución dada por Kohn se omite por este proceso.

Answer 3

El uso de arce, la sintaxis de este sitio,
He aquí $6$ $z$ de tal forma que: $$ x^3 + y^3 =6z^3 $$ He excluido a los otros $z$'s de la $7^{\text{th}}$ casi $30,000$ dígitos de largo.

enlace

Answer 4

He utilizado Microsoft Solver de la Fundación para encontrar un (diferentes) solución:

SolverContext context = SolverContext.GetContext();

Decision a = new Decision(Domain.IntegerNonnegative, "A");
Decision b = new Decision(Domain.IntegerNonnegative, "B");
Decision c = new Decision(Domain.IntegerNonnegative, "C");
Decision d = new Decision(Domain.IntegerNonnegative, "D");

Model model = context.CreateModel();
model.AddDecisions(a, b, c, d);

Term a3 = a * a * a;
Term b3 = b * b * b;
Term c3 = c * c * c;
Term d3 = d * d * d;

Term res = a3 * d3 + c3 * b3 - 6 * b3 * d3;

model.AddConstraint("eq", res == 0);
model.AddConstraint("a1", a < 1000000);
model.AddConstraint("b1", b < 1000000);
model.AddConstraint("c1", c < 1000000);
model.AddConstraint("d1", d < 1000000);
model.AddConstraint("a2", a >= 1);
model.AddConstraint("b2", b >= 1);
model.AddConstraint("c2", c >= 1);
model.AddConstraint("d2", d >= 1);
// model.AddConstraint("a3", a > c);  //  symmetry breaking

model.AddConstraint("b3", b != 21);   //  want something different!

Solution solution = context.Solve();

Console.WriteLine("a={0} b={1} c={2} d={3}", a, b, c, d);

El solver re-descubre su solución en un par de segundos, pero es incapaz de encontrar una diferente con los números por debajo de 1000000.