Límite de la proyección de una matriz cuando la proyección no es continua

Question

Considere la posibilidad de dos matrices:

• el $n\times n$ matriz $A$

• el $n\times m$ matriz $B$ de la fila $m$,$m<n$.

Supongamos, por $a\in\mathbb{R}$, $$S_a=A-aI_n,$$ and denote by $P_a$ the orthogonal projection onto the orthogonal complement of $\operatorname{col}(S_a B)$, that is, $P_a=I_n-S_aB(S_aB)^\daga$, where $(\cdot)^\daga$ denota la de Moore-Penrose pseudoinverse.

Estoy interesada en saber si las siguientes opciones es la correcta.

Conjetura: Por un arbitrario real autovalor $\lambda$$A$, $$P_\lambda S_\lambda =0$$ implies $$\lim_{a\to \lambda}P_a S_a =0.$$

Mis intentos :

Tenga en cuenta que $\operatorname{rank}(S_a B)=k$ cualquier $a$ diferente de un autovalor de a $A$. La conjetura es correcta al $\operatorname{rank}(S_\lambda B)=k$, porque en ese caso $$\lim_{a\to \lambda}P_a=P_\lambda.$$ (since the Moore-Penrose pseudoinverse of a matrix is continuous at some point if the rank of the matrix does not change at that point). From my numerical examples so far it seems to me that the conjecture may be correct even when $\operatorname{rango}(S_\lambda B)=k$, pero no puedo ver por qué.

También voy a mencionar algunos hechos que podrían ser relevantes, o al menos podría ayudar a aclarar mi pregunta. Puedo ver que

1. $\operatorname{rank}(S_\lambda B)=k$ fib $\operatorname{null}(S_\lambda)\cap \operatorname{col}(B)=\{0\}$, es decir, iff $\operatorname{col}(B)$ no contiene los vectores propios de a $A$ asociado a $\lambda$;

2. $P_\lambda S_\lambda =0 \text{ iff }\operatorname{col}(S_\lambda)=\operatorname{col}(S_\lambda B),$ porque $\operatorname{col}(S_\lambda B)$ es trivialmente un subconjunto de a $\operatorname{col}(S_\lambda)$ $P_\lambda S_\lambda =0$ fib $\operatorname{col}(S_\lambda)\subseteq\operatorname{col}(S_\lambda B)$;

3. $P_a S_a \neq0$ cualquier $a$ diferente de un autovalor $\lambda$$A$.

Answer 1

Creo que tu comentario 2 es la clave aquí. Esto implica la existencia de una matriz de R tal que $S_\lambda (I - BR) = 0$ donde $I$ $n \times n$ matriz identidad.

[Para la construcción de $R$, vamos a $e_1, \ldots, e_n$ ser una base para $\mathbb R^n$, y recoger $w_i$ tal que $S_\lambda e_i = S_\lambda B w_i$. A continuación, defina $R$$Re_i = w_i$.]

Desde $a \mapsto S_a$ es continua, esto significa que $\lim_{a \rightarrow \lambda} S_a (I - BR) = 0$. Desde $P_a$ siempre tiene la norma acotada por 1, esto significa que

$$ \lim_{a\rightarrow \lambda} P_a S_a (I - BR) = 0\text.$$

Por otro lado, como una propiedad de Moore-Penrose pseudoinverse, tenemos $S_aB(S_aB)^\dagger S_a B = S_a B$, lo que significa que $P_a S_a B = 0$. Esto significa que

$$ P_a S_a B R = 0$$

para todos los $a$.

La adición de los dos se muestran las ecuaciones da $\lim_{a \rightarrow \lambda} P_a S_a = 0$.