Máxima ideal contenido en un ideal

Question

Probablemente hay una respuesta simple a esta pero no puedo por la vida de la figura.

Cada anillo en esta pregunta tiene una unidad, pero no necesariamente conmutativo.

Deje $R$ ser un anillo y deje $I$ ser una izquierda ideal de $R$. En Álgebra Básica II, Jacobson define $$(I:R)=\{ b \in R \mid bR \subseteq I\}.$$ Esto es ideal porque es igual a, $\text{ann}_R R/I$, el aniquilador de la izquierda $R$-módulo de $R/I$. Debido a $R$ $1$ se sigue que $(I:R)$ está contenido en $I$. El autor pasa a afirmar que el $(I:R)$ contiene cada izquierdo ideal de $R$ correctamente contenida en $I$, pero no estoy viendo.

Si $J$ es una izquierda ideal de $R$ $I$ ¿por qué debería ser que $J \subseteq (I:R)$? El "obvio" que la cosa sería decir que desde $J$ es un ideal de a $JR \subseteq J \subseteq I$, pero los anillos no necesariamente conmutativo y $J$ es sólo una izquierda ideal para que esto no funciona. ¿Hay algún tipo de razón por la que esto funciona en realidad dado que el $J$ está correctamente contenida en $I$?

Answer 1

Básicos de Álgebra II, edición de 1980, página 188:

Deje $I$ ser una izquierda ideal del anillo de $R$. Definimos $$ (I:R)=\{b\R\mid bR\subconjunto I\}.\la etiqueta{9} $$ Es claro que si la ponemos a $M=R/I$ y consideramos esto como una izquierda $R$-módulo, a continuación, $$ (I:R)=\operatorname{ann}_RR/I.\etiqueta{10} $$ Se sigue de esto o $(9)$ que $(I:R)$ es un ideal. Por otra parte, por $(9)$, $(I:R)\subset I$ y $(I:R)$ contiene todos los ideales de a$R$$I$. En otras palabras, $(I:R)$ es el (único) de mayor ideal contenido en $I$.

No creo que esto ha cambiado en las ediciones posteriores, debido a que generalmente es falso que $(I:R)$ contiene cada izquierdo ideal de $R$ (correctamente) que figuran en el $I$. Consideremos el anillo de $R$ $3\times 3$ matrices sobre el campo $F$. A continuación, $R=I_1\oplus I_2\oplus I_3$ como una suma directa de un mínimo de izquierda ideales. Tome $I=I_1\oplus I_2$: a continuación,$(I:R)=0$, pero $I$ correctamente contiene la izquierda ideal $I_1$.

Tenga en cuenta que el ideal (sin el adjetivo a la izquierda o a la derecha) significa "dos caras ideal" y que $\subset$ denota la inclusión (no necesariamente correcta).