Puede ser útil recordar que el principio de inclusión-exclusión (PIE), en su finita versión, no es sino la versión integrada de una expresión algebraica de la identidad.
Es decir, considerar la posibilidad de $n$ eventos $(A_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ y deje $A=\bigcup\limits_{i=1}^nA_i$, $A^c=\bigcap\limits_{i=1}^nA_i^c$ por lo tanto
$$
1-\mathbf 1_A=\prod_{i=1}^n(1-\mathbf 1_{A_i}).
$$
El uso de la taquigrafía $A_I=\bigcap\limits_{i\in I}A_i$ por cada $I\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$ y la expansión del producto en el lado derecho, uno se
$$
1-\mathbf 1_A=\sum_{k=0}^n(-1)^k\sum_{|I|=k}\mathbf 1_{A_I},
$$
o, equivalentemente,
$$
\mathbf 1_A=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{|I|=k}\mathbf 1_{A_I}.
$$
La integración de este, usando la linealidad de la integral y la identidad de $P[B]=E[\mathbf 1_B]$ por cada $B$, se obtiene la (finito) de la EMPANADA como la conocemos.
Que los pasos de este programa podría fallar en el infinito? Para examinar esta cuestión, vamos a considerar algunos de los infinitos términos de la progresión $(A_n)$ de eventos e imaginar queremos escribir un PASTEL para $A=\bigcup\limits_nA_n$. En particular, tenemos la intención de utilizar la suma de la serie $\sum\limits_nP[A_n]$, por lo tanto supongamos que esta serie converge. A continuación, la serie de $\sum\limits_n\mathbf 1_{A_n}$ converge casi seguramente por lo tanto
$$
Y=\sum_I\mathbf 1_{A_I}=\prod_n(1+\mathbf 1_{A_n})\leqslant\exp\left(\sum_n\mathbf 1_{A_n}\right),
$$
converge (absolutamente) casi seguramente. La serie
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X=\sum_I(-1)^{|I|}\mathbf 1_{A_I}
$$
converge absolutamente casi seguramente por lo tanto $X=1-\mathbf 1_{A}$, e $X$ está dominado por $Y$ por lo tanto, si $Y$ es integrable, entonces
$$
E[X]=\sum_I(-1)^{|I|}P[A_I].
$$
Finalmente:
Si la secuencia de $(A_n)$ es tal que $\sum\limits_IP[A_I]$ converge, entonces la TARTA de cumple para la secuencia de $(A_n)$ en el sentido de que el evento $A=\bigcup\limits_nA_n$ probabilidad de
$$
P[a]=\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\sum\limits_{|I|=k}P[A_I].
$$
