Deje $\Sigma \subset \mathbb{R}^3$ una orientada a la superficie de Gauss mapa de $N: \Sigma \rightarrow S^2$. ¿Cómo puedo encontrar una caracterización geométrica de los puntos críticos de $N$?
Respuestas
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Puntos críticos de Gauss mapa son exactamente los puntos donde la sección transversal (de Gauss) la curvatura de $\Sigma$ se desvanece. Creo que esto es cierto en general para cualquier hipersuperficie en $\mathbb{R}^n$. La imagen de las superficies es que los puntos críticos de Gauss mapa corresponden a curvas en su superficie que el aspecto de las líneas de segundo orden (por eso son puntos críticos), que son exactamente las curvas de curvatura cero; una vez que haya tal cosa a través de $p$ de la superficie tiene curvatura cero.
Más rigurosamente, esto se deduce del hecho de que la forma del operador de $\Sigma$ es exactamente menos la derivada de la Gauss mapa -- véase, por ejemplo, la discusión siguiente Ejemplo 2.4 en el Capítulo 6 de la do Carmo, la Geometría de Riemann.
A continuación, podemos utilizar la ecuación de Gauss para traducir esto en una declaración acerca de la curvatura. Supongamos que la unidad vector tangente $x$ está en el núcleo de la derivada de la Gauss mapa en $p \in \Sigma$. Corregir algunos de la unidad de vector tangente $y$ $p$ ortogonal a $x$. Dejando $\alpha(\cdot, \cdot)$ denotar la segunda forma fundamental de $\Sigma$, la de Gauss, ecuación nos da la siguiente expresión para la curvatura seccional $\kappa$$\Sigma$$p$: $$ \kappa = \langle \alpha(x, x), \alpha(y,y) \rangle - \langle \alpha(x,y), \alpha(x,y) \rangle. $$ Puesto que la forma del operador es menos la derivada de la Gauss mapa y hemos asumido $x$ es en su núcleo, se deduce que el $\alpha(x, z) = 0$ para cualquier unidad de vector tangente $z$$p$. Por lo tanto $\kappa = 0$ a un punto en el mapa de Gauss es singular.
Por el contrario, si $\kappa = 0$ a un punto de $p$, ya que la curvatura seccional es el producto de las curvaturas principales, uno ve que la forma que el operador ha trivial núcleo, y por lo tanto el mapa de Gauss es singular.
Joe S
Puntos
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El mapa de Gauss se tiene un punto crítico si la derivada de la unidad de la normal a la superficie es igual a cero en alguna dirección.
Esto puede suceder de muchas maneras, por ejemplo, si la unidad normal es constante a lo largo de una curva. Ejemplos de ello serían un plano y un cilindro. Para estos, todos los puntos son críticos. Estos son los casos en donde cada punto de la superficie tiene una línea recta en la superficie pasa a través de él. Tales superficies se denomina "de las superficies regladas" Otro ejemplo es el de un helicoidal.
Otro ejemplo sería el de un toro. Aquí la unidad normal es constante en la parte superior e inferior de los círculos.
El toro exhibe un principio general que es que las regiones de la superficie que están positivamente deformado como una esfera o un elipsoide son separados por la crítica de las curvas(o regiones) de las regiones donde la superficie es negativa, deformado como una silla o en el interior de la región de el toro (la parte que está en forma de silla de montar).
Negativo y positivo de deformación es detectado por el signo del determinante de la diferencial de Gauss mapa. Dado que el diferencial de Gauss mapa es continuo, su determinante debe pasar a través de cero a lo largo de una curva que conecta de forma positiva y negativa regiones curva.
Para las superficies lisas que son compactos y no tienen límite, no es un teorema de Hilbert que dice que se debe tener un punto de "curvatura positiva", es decir, un punto donde el determinante de la diferencial de Gauss mapa es positivo. Al mismo tiempo, todas las superficies, excepto los que están topológica de las esferas, también deben tener las regiones de "curvatura negativa" como puede verse a partir de Gauss teorema de Bonnet. Así que todas estas superficies deben tener curvas a lo largo de la cual el mapa de Gauss es fundamental.
No son famosas las superficies donde el mapa de Gauss no tiene ninguna crítica points.By Hilbert teorema, aquellos que son "negativamente curvo" en cada punto debe tener límites o topes. La pseudo-esfera es un ejemplo maravilloso.
Sugiero que usted vaya a través de un montón de ejemplos. Struik del libro en la clásica Geometría Diferencial es una buena referencia.
