Encontrar el número de soluciones integrales de $abcd=210$

Question

Encontrar el número de soluciones integrales de $a\times b\times c\times d=210$

$$210=2\times 3\times 5\times 7$$ He intentado asumiendo 2,3,5,7 como bolas numeradas. El problema anterior es equivalente a la colocación de 4 bolas en 4 cajas donde emplty cajas están permitidas o la colocación de 3 particiones entre 4 bolas. (Caja vacía significa 1).

Suponiendo que las particiones como palos, tengo que encontrar el número de maneras de organizar las 4 bolas diferentes y los 3 palos. (Las bolas numeradas entre los palos son como bolas numeradas en una caja. Así que si dos palos vienen juntos, que significa que usted obtiene una caja vacía).

Número de formas = $7!$. Pero la respuesta dada es $8\times 4^4$

(No sé si las soluciones negativas están permitidos. Si ese es el caso, mi método no funcionará. Pero si sólo es positivo soluciones integrales están permitidos, es mi método correcto?)

Answer 1

Suponiendo que sólo positivo de soluciones integrales, que va a asignar a cada una de las $4$ prepara para uno de los $4$ 'cajas' $a,b,c$, e $d$. Tanto los primos y las "cajas" son identificables individualmente, por lo que este puede hacer en $4^4$ maneras. Por lo tanto, no se $4^4$ soluciones en los enteros positivos. Sin embargo, el problema simplemente requiere que los cuatro factores a ser números enteros. Podemos asignar signos más y menos arbitrariamente a $a,b$, e $c$, pero luego sólo habrá una opción de firmar por $d$ con el fin de hacer que el producto sea positivo, por lo que hay un total $2^3=8$ formas de asignar los signos. Alternativamente, un número de $a,b,c$, e $d$ debe ser negativa, y esto puede suceder en $8$ maneras: todo positivo, negativo, o uno de los $\binom42=6$ formas de recoger a los dos a ser negativo.

Tenga en cuenta que el problema es no equivalente a la usual de la colocación de $3$ particiones en una línea de $4$ bolas, porque estas bolas son identificables individualmente. Usted puede colocarlos en el orden de $2,3,5,7$ lugar y sus tres particiones en $\binom73$ maneras, pero que sólo le dará la factorizations en el que no prime aparece a la derecha de cualquier grande prime. (E. g., usted no puede conseguir a $7\cdot10\cdot3\cdot1$ de esta forma.) Por desgracia, si se multiplica por $4!$ a que todas las órdenes posibles de los números primos, sobre cuenta: $1\cdot1\cdot1\cdot210$, por ejemplo, son contados $4!$ veces!)