Serie de Taylor tiene límites, pero, ¿qué acerca de Laurent de la serie?

Question

Para un desarrollo en serie de Taylor, tenemos restos de Lagrange:

$$\left|f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-a)^k\right|\le\frac{|f^{(n+1)}(\xi)|}{(n+1)!}|x-c|^{n+1},\ |\xi-c|\le x$$

Pero, ¿tenemos algo similar para Laurent de la serie?

$$\left|f(x)-\sum_{k=-n}^na_k(x-c)^k\right|\le~?$$

$$\left|f(x)-\sum_{k=-\infty}^na_k(x-c)^k\right|\le~?$$

$$\left|f(x)-\sum_{k=-n}^{+\infty}a_k(x-c)^k\right|\le~?$$

Tal sería bastante útil para resolver problemas de límites con un apretón theoerem, por ejemplo.

Answer 1

Sí, hay extensiones de esta idea, a pesar de que se basan en la conversión de la función a una analítica (aunque dado que Taylor Teorema es bastante complicado extensión del Valor medio Teorema, que quizás no se preocupe demasiado acerca de esto). Dos enfoques posibles:

• Si $P(z)$ es la parte principal de la de la serie de Laurent, a continuación, $g(z)=f(z)-P(z)$ es analítica, y por lo tanto tiene la clase ordinaria de polinomio de Taylor y el resto, $$ g(z) = \sum_{k=0}^n \frac{g^{(k)}(a)}{k!}(z-a)^k + R_n[g](z), $$ donde $R_n[g](z)$ tiene su expresión favorita.
• Si $f(z)$ tiene un polo de orden $n$$a$, $h(z)=(z-a)^n f(z)$ es una analítica de la función, por lo que tiene la habitual fórmula de Taylor, $$ h(z) = \sum_{k=0}^N \frac{h^{(k)}(a)}{k!}(z-a)^k + R_N[h](z). $$ Entonces uno se puede dividir ambos lados de esta por $(z-a)^n$ encontrar una Taylor-como fórmula para $f$.

Ninguno de estos son especialmente útiles para un par de razones: en primer lugar, complejo-analítica/holomorphic funciones vienen con infinidad de derivados de forma gratuita, y han serie de Taylor que convergen absolutamente dentro del disco o anillo de convergencia, por lo que no hay necesidad de tener un número finito de la fórmula que se aplica a más limitante circunstancias. En segundo lugar, la integral de estimaciones basadas en el Teorema de los Residuos tienden a ser mucho más útiles en el análisis complejo ya que se puede deformar el contorno de manera útil con mucha más libertad. Estas estimaciones también sólo se necesita utilizar $f$, no sus derivados.