Calcular

Question

Quiero calcular $\sum_{n=0}^\infty$ $(n+1)(n+2)(\frac{i}{2})^{n-1}$.

Traté de separarlos en una suma de números reales ($n=0,2,4,\dots$) y los números complejos que no son números reales ($n=1,3,5,\dots$) pero no funcionó.

Así que lo hice de otra manera, el uso de Cauchy de la integral teorema:

Deje $f(z)=(\frac{z}{2})^{n+2}$. Entonces $4f''(i)$= $(n+1)(n+2)(\frac{i}{2})^{n-1}$, que es un término de la suma empecé. No sé cómo continuar a partir de aquí.

¿Qué puedo hacer? ¿Cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Tomando la derivada de la serie geométrica dos veces y dividiendo por $z$ da \begin{align} \frac{1}{1-z} &= \sum_{n=0}^\infty z^n \\ \frac{1}{(1-z)^2} &= \sum_{n=1}^\infty nz^{n-1} \\ \frac{2}{(1-z)^3} &= \sum_{n=2}^\infty n(n-1)z^{n-2} = \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) z^n \\ \frac{2}{z(1-z)^3} &= \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) z^{n-1} \end{align}

Answer 2

Sugerencia: En $|z| < 1$, escribir $\frac{z^{2}}{1- z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{n +2}$. Se diferencian dos veces y dividir ambos lados por $z$ y el enchufe de la $z_{0} = \frac{i}{2}$ y obtendrá el lado derecho de la suma en la pregunta, mientras que el lado izquierdo se puede obtener a través de un cuidadoso trabajo de cociente reglas de cálculo.

Answer 3

Para hacerlo más general considere la posibilidad de $$S=\sum_{n=0}^\infty (n+a)\,(n+b)\, z^{n+c}$$ in which $a,b,c$ son sólo números (enteros, racionales, irracionales o complejos).

Empezar a escribir $$(n+a)\,(n+b)=An(n-1)+B(n-1)+C$$ Expanding and grouping terms, we have $$(a b+B-C)+n (a+b+A-B)+(1-A) n^2=0$$ So $$A=1\quad \, \quad B=1+a+b\quad \, \quad C=1 + a + b + a b$$ So, $$S=A\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\, z^{n+c}+B\sum_{n=0}^\infty (n-1)\, z^{n+c}+C\sum_{n=0}^\infty \, z^{n+c}$$ $$S=Az^{c+2}\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\, z^{n-2}+Bz^{c+1}\sum_{n=0}^\infty (n-1)\, z^{n-1}+Cz^c\sum_{n=0}^\infty \, z^{n}$$ donde ahora podemos reconocer la suma de la progresión geométrica, y su primera y segunda derivadas.

La necesaria expresiones se han dado en las respuestas.