Tengo la siguiente secuencia exacta: $$\ker(f)\rightarrow G\rightarrow \mathbb{Z}$$ Donde el primer mapa es la inclusión y el segundo mapa es $f$. Y $G$ es un grupo abelian.
Me gustaría saber si me puede escribir: $G=\ker(f)\oplus \mathbb{Z}$
Creo que es necesario demostrar que la secuencia se divide exacto...Es que el caso? Alguien puede ayudar? Gracias!
La división lema dice que $G$ es una suma directa de los otros dos grupos iff la secuencia se divide (ya sea a la izquierda o a la derecha, ya que estamos en la abelian caso). En general no hay ninguna razón para que esto suceda, sin embargo, su caso es especial.
Escoger un elemento $g\in f^{-1}(1)$ y definen $\psi(1)=g$, que se extiende a un homomorphism $\psi\colon\mathbb{Z}\to G$. Es fácil ver que $f\circ \psi$ es la identidad, por lo que su secuencia se divide en la derecha, por lo tanto $G=\mathrm{ker}(f)\oplus \mathbb{Z}$.
La prueba se generaliza fácilmente a los casos en que $\mathbb{Z}$ es reemplazado por libre abelian grupo (si se trataba de los módulos a través de algunos de anillo, un módulo proyectivo hubiera bastado, pero, como se señaló en los comentarios, no hay ninguna distinción entre libres y proyectiva $\mathbb{Z}$-módulos).
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