Cómo probar esta desigualdad $\sum_{1\le i<j\le n}b_{i}b_{j}<0$

Question

Pregunta:

deje que los números positivos $n\ge 2$, $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}>0$,e $b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\in R$,y tal $$\sum_{1\le i\le n}a_{i}b_{i}=0,|b_{1}|+|b_{2}|+\cdots+|b_{n}|\neq 0$$ mostrar que $$\sum_{1\le i<j\le n}b_{i}b_{j}<0$$

Mi idea: ya que $$|b_{1}|+|b_{2}|+\cdots+|b_{n}|\neq 0$$ así $b_{i}$ no es todo de cero y $$\sum_{1\le i<j\le n}b_{i}b_{j}=\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}\left(\sum_{j=i+1}^{n}b_{j}\right)=\sum_{j=2}^{n}b_{j}\left(\sum_{i=1}^{j-1}b_{i}\right)$$ así que debemos demostrar que siga la desigualdad $$\sum_{j=2}^{n}b_{j}\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{j-1}\right)<0$$

entonces no se puede Continuar.Gracias

Answer 1

$$ 0 = \sum_{1\le i \le n} a_ib_i $$ $$ \implica 0 = (\sum_{1\le i \le n} a_ib_i)^2 = \sum_{1\le i\le n} (a_ib_i)^2 + 2(\sum_{1\le i \le n} \sum_{i\lt j \le n} a_ia_jb_ib_j) $$

Ya, $a_i>0, \forall i$ dividir ambos lados de la anterior por $(2*MAX(a_i))^2)$ y, a continuación, la necesaria desigualdad que se puede conseguir.

$$ \sum_{1\le i \le n} \sum_{i\lt j \le n} a_ia_jb_ib_j = -\frac{1}{2} \sum_{1\le i\le n} (a_ib_i)^2 <0 $$ $$ \implica \sum_{1\le i \le n} \sum_{i\lt j \le n} b_ib_j <0 $$