Suma de secuencias {1/2 + 1/4 + 1/6 +...} hasta el infinito

Question

Me han dicho que la siguiente serie converge: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{2k}+\ldots$$

No consigo entender cómo demostrar que esto converge; ¿alguna pista?

Answer 1

No lo hace. Hasta un factor de $\frac12$ por sumando se trata de la serie armónica, el ejemplo estándar para la divergencia.

Answer 2

Dejemos que

$$S = 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \;...$$

$$[Parentheses \; have \; been \; put \; for \; comparing \; the \; series \; S \; and \; T]$$ Entonces la serie dada es simplemente $2S$ . Por lo tanto, para investigar la convergencia de la serie dada, tenemos que investigar $S$ que es una serie muy conocida llamada serie armónica y es un buen ejemplo de una serie cuya $t_n \rightarrow 0$ como $n \rightarrow\infty$ pero la serie sigue siendo divergente. Para demostrarlo, construiremos otra serie $T$ tal que $T < S$ y $T$ es divergente. Sea $$T = 1+ \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \; ...$$ Es fácil ver que $T < S$ . Además, la serie $T$ es la misma que la serie $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}+\; ... \; = \infty$ . Por lo tanto, $S$ es una serie divergente también y como resultado, la serie dada en la pregunta diverge.