Deje $M \in \mathbb{Z}_{n \times n}$ ser una matriz cuadrada con coeficientes enteros. Deje $P(x)$ ser su polinomio característico $$ P(x) = \det\left(x \cdot \mathbb{I}_{n \times n}- M\right) $$ Me gustaría calcular el discriminante de $P(x)$, y me pregunto si puede ser obtenido a partir de $M$ directamente.
La intención es determinar si $M$ tiene distintos valores propios.
Estoy buscando referencias, ideas, algoritmos. Gracias.
Cada polinomio $p \in \mathbb{Z}[x]$ correspondiente al compañero de la matrizcuyo polinomio característico es $p(x)$. Un compañero de la matriz de $M$ es, naturalmente, similar a $M$ sí.
El compañero de la matriz de $M$ puede encontrar trayendo $M$ a su Frobenius forma normal, que se puede hacer en el campo de $\mathbb{Q}$. Polinomio característico de a $M$ es fácil de obtener por el Frobenius forma normal (que es de bloque-diagonal de la matriz de compañero de matrices), y su discriminante se calcula como:$\gcd(p(x),p^\prime(x))$.
Vea "más Rápido Algoritmos para el polinomio característico", por A. Storjohann y C. Pernet.
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