Valor propio de un polinomio evaluado en un operador

Question

Supongamos que $T:V\to V$ , $p\in \mathcal{P}(\mathbb{C})$ (polinomios con coeficientes complejos), y $a\in \mathbb{C}$ . Demostrar que $a$ es un valor propio de $p(T)$ si y sólo si $a=p(\lambda)$ para algún valor propio $\lambda$ de $T$ .

Puedo probar: si $a=p(\lambda)$ entonces $a$ es un valor propio de $p(T)$ porque: $$Tv=\lambda v$$ $$T^kv=\lambda^k v$$ $$p(T)v=p(\lambda)v=av$$

Pero, ¿cómo puedo justificar la otra dirección?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Reclamación 1: $a$ es un valor propio de $p(T)$ $\Leftarrow$ $a=p(\lambda)$ para algún valor propio $\lambda$ de $T$ .

Prueba: Para cualquier valor propio $\lambda$ de $T$ tenemos $Tv = \lambda v$ . Es fácil demostrar por linealidad e inducción que $p(T)v = p(\lambda)v$ . Por lo tanto, si $a = p(\lambda)$ entonces $a$ es un valor propio de $p(T)$ . $\square$

Reclamación 2: $a$ es un valor propio de $p(T)$ $\Rightarrow$ $a=p(\lambda)$ para algún valor propio $\lambda$ de $T$ .

Prueba: En $\Bbb{C}$ podemos factorizar (donde $u \in \Bbb{C} - \{0\}$ ): $$p(x) - a = u \prod_{i=1}^{n} (x-\lambda_i) \\ \text{so } a = p(\lambda_i) \text{ for some } i.\tag{1}$$ Si $a$ es un valor propio de $p(T)$ entonces $p(T) - aI$ es singular. Pero de $(1)$ tenemos $$p(T) -aI = u \prod_{i=1}^{n} (T - \lambda_iI)$$ Así que $^\dagger$ para algunos $i$ tenemos $T - \lambda_iI$ es singular, por lo que $\lambda_i$ es un valor propio de $T$ . Recordemos que $(1)$ que $a = p(\lambda_i)$ . $\square$

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$^\dagger$ Es fácil demostrar que si $AB$ es singular, entonces al menos uno de $A$ y $B$ es singular. Cambia entre una transformación lineal y su matriz en algunas bases, luego usa el hecho de que el determinante es multiplicativo.