Necesito demostrar que si $f$ es analítica, pero no uno-a-uno en la unidad de disco, a continuación, $\exists z,w\in D_1(0)$ tal que $|z|=|w|$$f(z)=f(w)$.
Hay una pista que dice utilizar el Argumento de Principio, pero no sé cómo usarlo.
Cualquier ayuda es muy apreciada.
El seguimiento de los comentarios: supongamos que la conclusión es falsa, es decir, $f$ es inyectiva en cada círculo de $|z|=r$. Supongamos que el valor de $w\in\mathbb C$ es alcanzado más de una vez. Desde los ceros de $f-w$ son discretos, no es $r$ tal de que no hay ceros mentira en $|z|=r$ y, al menos, dos se encuentran en $|z|<r$.
El argumento de principio, el cambio de argumento de $f-w$ $|z|=r$ debe ser de al menos $4\pi$.
Sin embargo, la liquidación número de Jordania curva sobre cualquier punto puede ser sólo $0$, $1$ o $-1$. Para suavizar curvas de Jordan $\Gamma$ esto puede ser muestra de la siguiente manera: por el Jordan de la curva de teorema, $\mathbb C\setminus \Gamma$ consta de dos componentes; para los puntos en el infinito componente de la liquidación número de es $0$. Considere la posibilidad de un punto de $w$ cerca de $\Gamma$. Un pedazo de $\Gamma$ cerca de $w$ se ve como un segmento de línea, en la que $\arg (f-w)$ cambia por unos $\pi$. Moviendo $w$ a el otro lado de la línea de segmento de resultados en $\pi$ siendo reemplazado por $-\pi$. Desde el cambio total de argumento es un múltiplo de a $2\pi$, se deduce que el cruce de la curva de resultados en $\pm 1$ a la liquidación número.
Con herramientas más pesadas (grado teoría, Jordania-Schoenflies teorema) uno puede manejar el caso continuo, pero sólo suave que se necesita aquí.
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