Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y deje $E \subseteq X$ conectado. Quiero mostrar que la $\overline E$ está conectado.
Cómo puedo probar esto en una bonita manera ?
Respuestas
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La PROPOSICIÓN Deje $E\subseteq X$ estar conectado. A continuación, $\overline E$ está conectado.
P Vamos a $f:\overline E\to\{0,1\}$ ser continua. Desde $E$ está conectado, $f\mid_E$ es constante. Pero $E$ es denso en $\overline E$, lo $f$ es constante, ya que funciones continuas son totalmente determinado en un subconjunto denso de su dominio cuando el codominio es Hausdorff. Y $\{0,1\}$ con la topología discreta es metrizable, por lo tanto Hausdorff, la reivindicación de la siguiente manera.
AÑADIR que Hay más general de la reclamación. Deje $(X,\mathscr T)$ ser un espacio topológico. Si $E$ está conectado y $K$ es tal que $E\subseteq K\subseteq \overline E$, $K$ está conectado.
P Considerar $K$ como un subespacio de $X$. A continuación, $E$ es denso en el espacio de $K$. Deje $f:K\to\{0,1\}$ ser continua. A continuación, $f\mid_E$ es constante. De ello se desprende $f$ es constante, por lo $K$ está conectado.
He aquí la prueba de
La PROPOSICIÓN Vamos $X$, $Y$ ser espacios topológicos, $Y$ Hausdorff. Supongamos $D$ es denso en $X$ $f,g:X\to Y$ son continuas. Si $f$ $g$ está de acuerdo en $D$,$f=g$.
P Por la contradicción. Por lo tanto, asumir que existe $x\in X\smallsetminus D$ tal que $f(x)\neq g(x)$. Entonces existen abiertos nbhds de $N_1$$f(x)$$N_2$$g(x)$$N_1\cap N_2=\varnothing$. Por la continuidad, $M_1=f^{-1}(N_1)$ $g^{-1}(N_2)=M_2$ están abiertos. Entonces así es $M=M_1\cap M_2\neq \varnothing$ desde $x\in M$. Por lo tanto, existe $y\in M\cap D$, e $f(y)=g(y)$. Pero esto es imposible, ya que esto le da $f(y)\in f(M)\subset ff^{-1}(N_1)\subset N_1$$g(y)\in g(M)\subset gg^{-1}(N_2)\subseteq N_2$.
John Gallagher
Puntos
183
Siguientes Daniel Fischer sugerencia:
Supongamos que $E$ está conectado a un subespacio de $X$$E \subseteq K \subseteq \overline E$.
Considere la posibilidad de $K$ como un subespacio de $X$. A continuación, $E$ es un denso, conectado subespacio de $K$.
Deje $C$ $D$ ser abierto pone en $K$ que separan $K$.
A continuación, $C$ $D$ son no vacíos, y por lo tanto cada uno debe contener un elemento de $E$, lo $C\cap E$ $D \cap E$ separada $E$.
user156495
Puntos
96
Supongamos que $X$ es un espacio de y $E\subset X$ está conectado a un subconjunto.
Deje $A$ ser un clopen subconjunto de $\overline E$ tal que $A\cap\overline E\not=\emptyset$.
Desde $A$ es abierto en $\overline E$, $A\cap E\not=\emptyset$.
Tenga en cuenta que $A\cap E$ es no vacío y clopen en $E$.
Desde $E$ está conectado, $E=A\cap E\subset A$.
Desde $A$ es cerrado en $\overline E$, $\overline E\subset A$.
Por lo $A=\overline E$, mostrando el $\overline E$ a ser conectado.
