¿Cómo puedo demostrar que la bola unidad cerrada en $L^1([0,1])$ no es compacto?

Question

Considere el siguiente subconjunto de $L^1([0,1])$, $S=\left\{f\in L^1([0,1]):{\|f\|}_1\leq1\right\}$. Demostrar que $S$ no es compacto.

Debo comenzar con una tapa abierta y a demostrar que esto no tiene finita subcover o encontrar una secuencia convergente que no tiene convergente sub-secuencia? Estoy bastante confundido.

Answer 1

Tome $f_n(x)$ $n$th dígito binario de la expansión de la $x \in (0,1)$. A continuación, $\|f_n\|_1 = { 1\over 2}$ y $\|f_n-f_m\|_1 = {1 \over 2}$ todos los $m \neq n$.

Deje $U_n = B(f_n,{1 \over 4})$, esta es una cubierta abierta sin finito sub cubierta.

Anexo: Para ilustrar $f_n$, supongamos $x= {1 \over 2} + {1 \over 8} = 0.101\bar{0}$, luego $f_1(x) = 1$, $f_2(x) =0$, $f_3(x) = 1$ y$f_k (x) = 0$ todos los $k > 3$. En general ($x \in (0,1)$) $f_n(x) = \lfloor 2^n x \rfloor\pmod 2 $.

Answer 2

Considere la posibilidad de $f_n:=2^n\mathbf{1}_{[0,1/2^n]}$.