Encontrar la finalización de un anillo de coordenadas

Question

Considere la posibilidad de $A=\mathbb C[x,y]/(y^2-x(x+1))$, y considerar la $\mathfrak m$-ádico de finalización, donde $\mathfrak m =(x,y)$. Quiero mostrar que esta conclusión es isomorfo a $\mathbb C[[u,v]]/(uv)$, donde el doble corchetes denotan un anillo de poder formal de la serie.

Creo que he descubierto el truco, pero soy incapaz de completar el argumento. Creo que la finalización de $A$ es sólo $\mathbb C[[x,y]]/(y^2-x^2(x+1))$. El "truco" es tener en cuenta que el factor generador del ideal en la alimentación de la serie ring como $(y-x\sqrt{x+1})(y+x\sqrt{x+1})$, porque podemos ampliar la plaza raíces en poder de la serie.

Considerar el mapa de $\mathbb C[[u,v]]\rightarrow \mathbb C[[x,y]]$ con

$$\phi(u)=y+x\sqrt{x+1}$$

$$\phi(v)=y-x\sqrt{x+1}.$$

Si podemos demostrar que esto es surjective, podemos componer con el cociente mapa a $\mathbb C[[x,y]]/(y^2-x^2(x+1))$. Si a continuación mostramos el kernel es $(uv)$, que se hacen por la norma anillo teorema de isomorfismo.

Así que mis dos preguntas son: ¿Cómo podemos mostrar surjectivity? Y ¿cómo podemos calcular el kernel después de componer con el cociente mapa? En lugar de calcular el núcleo, nosotros podríamos notar que el mapa desciende a un mapa en $\mathbb C[[u,v]]/(uv)$ $\mathbb C[[x,y]]/(y^2-x^2(x+1))$y demuestran que esto es inyectiva (posiblemente mediante la búsqueda de una inversa?), pero no veo cómo hacerlo.

Para surjectivity, sólo tenemos que mostrar que $y$ $x$ están en la imagen. Podemos obtener $y$$(u+v)/2$, pero consiguiendo $x$ va a requerir de una potencia de la serie que no veo la manera de calcular.

Me doy cuenta de que esto tiene algunas interpretación geométrica, pero estoy buscando puramente algebraica de primaria y respuestas, como soy nuevo en este material. Gracias.

Answer 1

Suponga que se dan dos de alimentación de la serie sin término constante $f_1,f_2 \in F[[x,y]]$ (para un campo $F$). El mapa $$ \sum a_{ij} x^i y^j \mapsto \sum a_{ij} f_1^i f_2^j$$ is then a well-defined $F$-algebra homomorphism (we need the constant terms to be zero to get formal convergence). It is an isomorphism if and only if the Jacobian determinant of $(f_1,f_2)$ is a unit in $F[[x,y]]$ (es decir, tiene un no-cero término constante). O bien, escribiendo $$f_1=a x+b y+\cdots, \quad f_2=cx+dy+\cdots$$ if and only if $ad-bc \neq 0$.

En su caso, las correspondientes expansiones $$\phi(u)=x+y+\cdots \quad \text{and} \quad \phi(v)=-x+y+\cdots $$ so the Jacobian determinant at zero is $2$ y el mapa es un isomorfismo.

[1. Esto es sólo formal de la versión analítica del teorema de la función implícita; las afirmaciones no probadas son sencillas de álgebra. 2. Todo esto está ocurriendo en el nivel del poder formal de la serie de anillos sin quotienting, pero por su sabia elección el elemento $uv$ corresponde a $y^2-x^2(x+1)$, por lo que desciende a los correspondientes cocientes.]