La división de una secuencia exacta

Question

Deje $(R,\mathfrak m)$ ser un Noetherian anillo local. Supongamos que $x \in \mathfrak m \setminus \mathfrak m^2$. Es cierto que $$ \frac{\mathfrak m}{x\mathfrak m} \cong \frac{\mathfrak m}{(x)} \oplus \frac{(x)}{x\mathfrak m}?$$

Existe una secuencia exacta

$$ 0 \rightarrow \frac{(x)}{x\mathfrak m} \rightarrow \frac{\mathfrak m}{x\mathfrak m} \rightarrow \frac{\mathfrak m}{(x)} \rightarrow 0$$

y la pregunta es: ¿esta secuencia split? Si no, ¿qué es un contraejemplo?

Answer 1

En $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ tenemos $\bar x\ne\bar 0$. Desde $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ es un finito dimensionales $R/\mathfrak m$-espacio vectorial, existe una base $\{\bar x,\bar x_1,\dots,\bar x_r\}$$\mathfrak m/\mathfrak m^2$. Por NAK tenemos $\mathfrak m=(x,x_1,\dots,x_n)$.
Deje $\mathfrak a=x\mathfrak m+(x_1,\dots,x_n)$.
A continuación,$\mathfrak a+(x)=\mathfrak m$.
También tenemos $\mathfrak a\cap(x)=x\mathfrak m$. Deje $y\in \mathfrak a\cap(x)$. A continuación,$y=ax=a_0x+a_1x_1+\cdots+a_nx_n$$a_0\in \mathfrak m$, lo $ax-(a_1x_1+\cdots+a_nx_n)=a_0x\in \mathfrak m^2$. De ello se desprende que $a\in \mathfrak m$ por lo tanto $y\in x\mathfrak m$.

Llegamos $\dfrac{\mathfrak m}{x\mathfrak m}=\dfrac{\mathfrak a}{x\mathfrak m}+\dfrac{(x)}{x\mathfrak m}$, e $\dfrac{\mathfrak a}{x\mathfrak m}\cap\dfrac{(x)}{x\mathfrak m}=(0)$. Esto demuestra que $\dfrac{(x)}{x\mathfrak m}$ es un sumando directo en $\dfrac{\mathfrak m}{x\mathfrak m}$.
Además, $\dfrac{\mathfrak a}{x\mathfrak m}\simeq\dfrac{(x_1,\dots,x_n)}{x\mathfrak m\cap(x_1,\dots,x_n)}$. Pero $x\mathfrak m\cap(x_1,\dots,x_n)=(x)\cap(x_1,\dots,x_n)$, lo $\dfrac{\mathfrak a}{x\mathfrak m}\simeq\dfrac{(x_1,\dots,x_n)}{(x)\cap(x_1,\dots,x_n)}\simeq\dfrac{\mathfrak m}{(x)}$.