Hay un nombre para este objeto? (Como un grupo, pero a la inversa no es necesariamente un miembro de la serie)

Question

Un grupo es un conjunto $G$, junto con una operación binaria $\cdot$ que

• está cerrada - si $f\in G$ $g \in G$ $f\cdot g \in G$
• es asociativo - $(f \cdot g) \cdot h = f \cdot (g \cdot h)$
• tiene un elemento de identidad $e$ tal que $ef=f$ todos los $f\in G$
• tiene una función inversa: para cada $f\in G$ existe $f^{-1}\in G$ tal que $ff^{-1}=e$

Estoy interesado en un concepto relacionado donde $f^{-1}$ existe, pero no es necesariamente un miembro de $G$. Esto significa que la identidad de la función no necesita estar en$G$.

Como un simple ejemplo, consideremos el conjunto $T$ de las transformaciones $x\to x+a$ donde $a>0$. Cada elemento de este conjunto tiene una inversa ($x\to x-a$), pero ninguno de los inversos ni la identidad de transformación son miembros de $T$.

Así que estoy buscando algo muy groso como este:

Un <<insert name here>> es una tupla $\langle G, H, e, \cdot \rangle$ donde $G$ es el conjunto de elementos y $H$ es el conjunto de invertir elementos, y $e$ es el elemento de identidad. La operación binaria $\cdot$ es:

• cerrado de forma independiente para $G$$H$. Es decir, si $f\in G$$g \in G$$f\cdot g \in G$, y si $f\in H$$g \in H$$f\cdot g \in H$.
• es asociativa (de nuevo de forma independiente para $G$$H$)
• tiene la invertibility la propiedad de que para cada $f\in G$ existe $f^{-1}\in H$ tal que $ff^{-1}=f^{-1}f=e$, y del mismo modo para cada $h\in H$ existe $h^{-1}\in G$ tal que $hh^{-1}=h^{-1}h=e$.
• $(fg)^{-1} = g^{-1}f^{-1}$ todos los $f, g \in G$, y de manera similar a $(fg)^{-1} = g^{-1}f^{-1}$ todos los $f, g \in H$.

Es muy similar a un grupo, pero donde los elementos se dividen en (posiblemente se superponen) "hacia adelante" y "atrás" establece que puede no contener el elemento de identidad. Tenga en cuenta que si $g\in G$ $h\in H$ $fh$ no podría estar en cualquiera de ellos.

En el ejemplo anterior, $G$ es el conjunto de traducciones en la dirección positiva y $H$ es el conjunto de traducciones en la dirección negativa.

No estoy seguro de cuáles son las consecuencias de esta definición, pero parece que podría ser una cosa útil para definir en el contexto de reversible de los sistemas dinámicos. ¿Este concepto ya tienen un nombre, y si es así, donde puedo leer sobre esto?

Answer 1

Deje $G$ ser cualquier semigroup. Definir $H=G^{op}$ a ser el semigroup con el conjunto subyacente $G \times \{2\}$, pero con la operación opuesta, $(g \cdot_G h, 2) = (h,2) \cdot_H (g,2)$.

Definir $(g,2)^{-1} = g$$g^{-1} = (g,2)$. Deje $e$ ser un elemento no en $G \cup H$, y definir $(h,2) \cdot g = g \cdot (h,2) = e$. A continuación, $\langle G,H,e,\cdot\rangle$ satisface los axiomas.

En particular, no hay ninguna restricción en las posibilidades de $G$: puede ser cualquier semigroup, incluso aquellos semigroups que no puede ser incorporado en cualquier grupo.

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Sospecho que lo que quieres es parcialmente el fin de su grupo, y definir $G$ a aquellos elementos de mayor que o igual a la identidad, y $H$ a ser de menos de o igual a la identidad. Habrá algunos elementos que no son comparables a la identidad (todos los no-identidad de elementos finitos de orden). Por ejemplo, supongamos $E = \{ x \mapsto Ax + b : AA^T = I, b \in \mathbb{R}^n \}$ el grupo de isometrías lineales de $\mathbb{R}^n$, y definir $Ax + b \geq 0$ fib $A=I$ $b \geq 0$ (lo que significa que cada entrada de $b$ es mayor que o igual a $0$). A continuación, $G$ es el grupo de la primera orthant traducciones, $H$ son sus opuestos, y $G \cup H$ es sólo una pequeña fracción del total del grupo (todas las rotaciones que faltan, todos los "mixtos" de las traducciones que faltan).

Answer 2

Deje $G$ ser un conjunto con una operación binaria satisfacción de la asociatividad.

A continuación, $G$ es llamado como semigroup. Si $G$ contiene marca entonces es llamado como monoid.

Y semigroups necesidad de no contener inverso de un elemento. Pero quieres algo más; $g^{-1}$ existen, pero que no puede ser contenida en $G$.

Hay un ejemplo de este tipo de monoid.

Deje $G=Q[x]-\{0\}$ ser todos nonzer0-polinomio sobre $\text{ } \mathbb{ Q}$. A continuación, $G$ es monoid con respecto a la multiplicación ya que la multiplicación de polinomios son asociativos y contiene $1$. Pero no contiene inversa de a $x^2+1$ como un ejemplo. Pero sabemos que la inversa de la que existen $$1\over x^2+1$$ which is not element of $Q[x]$. And if we add all inverse of elements to $Q[x]$ llegaremos a un grupo.