Interpretación geométrica de $\pi=\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx$.

Question

Cómo mostrar que $$\pi=\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx?$$ Yo sé cómo hacerlo simbólicamente mediante el uso de ese $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$. Pero hay una interpretación geométrica de este resultado?

Answer 1

La sustitución

$$ x = \tan\left[\frac{ t\sqrt{1-t^2} + \arcsin t }{2}\right] $$ convierte la integral en $$ \int_0^1 4\sqrt{1-t^2} dt. $$ Pero esto es exactamente cuatro veces el área de un cuarto de círculo unidad, por lo tanto es igual a $\pi$.

Answer 2

Considere la posibilidad de la unidad de semicírculo en la mitad superior del plano y la línea de $y=1$.

Con un poco de geometría, uno puede mostrar que $$\mathrm dl=\frac{\mathrm dx}{1+x^2}.$$ Por lo tanto, la integración de $\mathrm dx/(1+x^2)$ $x\in[0,1]$ le da la medida de la circunferencia de la $45^\circ$ arco delimitado por $x=0$$x=y$.

(Esto es sólo la interpretación geométrica de la sustitución de $x=\tan\theta$.)