Es este subconjunto una base del espacio vectorial?

Question

Decidir si el subconjunto de $ \left\{v_{1},v_{2}\right\}=\left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \alpha\\ 1 \end{pmatrix}\right \}$ is a basis of the vector space $V = \mathbb{R}^{2}$ for an arbitrary fixed $\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \neq \frac{1}{2}$

Yo en primer lugar comprobar si ambos vectores son linealmente independientes. Yo uso el truco determinante para ello.

$$\begin{vmatrix} 1 & \alpha\\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$

$$\text{Determinant}= 1 \cdot 1 - 2\alpha$$

Esto puede nunca igual a cero como $\alpha \neq \frac{1}{2}$, por lo que ambos vectores son linealmente independientes.

Por otra parte la dimensión del espacio vectorial es $2$ desde $V=\mathbb{R}^{2}$ y tenemos el mismo número de vectores linealmente independientes, $2$.

Así, el subconjunto $\left\{v_{1},v_{2}\right\}$ es de hecho una base del espacio vectorial $V$.

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Puede usted por favor decirme si lo hizo correctamente? Es muy importante para mí saber como yo lo haría como que en el examen. Y también me dicen si la notación es buena :)

Answer 1

Sí que es correcta. Hay varias maneras de hacer esto, pero calcular el determinante es, probablemente, el más rápido, de manera (teniendo en cuenta tu pregunta sobre el uso de una calculadora para el cálculo de la reducción de la fila de una matriz).

Tenga en cuenta que usted también podría haber utilizado Eliminación Gaussiana: esto le daría el siguiente: $$\begin{pmatrix} 1 & \alpha\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ si ahora sustituir la fila 2 por (fila 2 - 2 veces la fila 1), nos encontramos con $$\begin{pmatrix} 1 & \alpha\\ 0 & 1 - 2\alpha \end{pmatrix}$$ Esto se traduce en una fila cero si y sólo si $1 - 2 \alpha = 0$ y por lo tanto, si y sólo si $\alpha = \frac{1}{2}$.

Otra forma sería la de considerar la siguiente combinación lineal: $$\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 = 0$$ para$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$, y para mostrar que tanto $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$. Sin embargo, considerando este coordinar sabio, esto se traduce en la matriz $$\left(\begin{array}{cc|c} \!\!1 & \alpha & 0\!\!\\ \!\!2 & 1 & 0\!\! \end{array}\right),$$ (He utilizado barras de destacar que es la matriz ampliada) que ya está resuelto.

Todo esto para decir que hay numerosas maneras de resolver esta cuestión (y para mostrar que el uso de la determinante es la manera más rápida!)

P. S. la mejor de las suertes con su álgebra lineal examen!

Answer 2

Sí, que es una manera muy agradable para completar el problema. Todo el razonamiento y la notación se ven bien para mí.

Sin el determinante truco, uno todavía podía "fuerza bruta", considerando una combinación lineal de las dos, que es igual a cero, y aún así llegan a la misma conclusión.

En este caso especial de dimensión dos, usted también puede mostrar que sólo uno de los vectores no es un escalar varios de los otros (que es lo que significa para dos vectores es linealmente dependiente). Esto no generalizar a más vectores tan fácilmente, sin embargo.

Answer 3

Aunque no sé su instructor preferido de la notación, creo que tu razonamiento es correcto. Sólo en el caso de que $\alpha = \frac{1}{2}$ obtienes dos vectores son paralelos.