Una cuestión de elección de afirmar el dominio de la función en el análisis de la topología de los libros de texto - más estrecho o más amplio en primera?

Question

Es habitual ver en el análisis matemático de que el dominio de la función en la definición o el teorema requeriría como "pequeño" como sea posible. Por ejemplo, recordemos que el Teorema del Valor Extremo a menudo enunciado como este:

Paso 1: Vamos A $f:[a,b]\to\Bbb R$. Si $f$ es continuo, $f$ tiene un max/min en $[a,b]$.

En contraste, los autores generalmente no me gusta al estado como:

Forma 2: Vamos a $E\subseteq \Bbb R$, $f:E\to\Bbb R$ y $[a,b]\subseteq E$ si $f$ es continua en a$[a,b]$, $f$ tiene un max/min en $[a,b]$

(Observe que en este caso, el dominio de $E$ de la función en el contexto puede ser una "frágil", tales como $(1,5)\cup (10,15)\cup (20,24)$.)

Ahora bien, si tenemos una función de $f:(1,5)\cup (10,15)\cup (20,24)\to \Bbb R$ a mano, luego tiene un max/min en $[2,4]$? Sí, pero teniendo en cuenta diferentes descripción de teorema, tenemos diferentes argumento. Si adoptamos la primera, se diría: porque $f\vert_{[2,4]}$ es una función definida en un cerrado delimitado set $[a,b]$, de modo que por el teorema de, $f\vert_{[2,4]}$ tiene un max/min en $[2,4]$. Sin embargo, si adoptamos la segunda, se diría: desde $[2,4]\subseteq\text{dom} (f)$, por el teorema de, $f$ tiene un max/min en $[2,4]$ (no necesitamos para hacer la restricción aquí, desde este precisamente suite el teorema de sí mismo, esta vez).

Un ejemplo más, en la definición de integrabilidad de Riemann, la gente siempre se declaró la hyphothesis como

Vamos $f:[a,b]\to\Bbb R$, $f$ se llama integrable si ...

en lugar de

Vamos $E\subseteq\Bbb R$, $f:E\to\Bbb R$, y $[a,b]\subseteq E$, $f$ se llama integrable en $[a,b]$ si ...

Siguiente, siguiente es la definición de analiticidad de un punto de una función de Terrence Tao del Análisis II.

Definición: Dejar $I$ ser un intervalo abierto, $c\in I$$f:I\to\Bbb R$. Decimos que $f$ es analítica en $c$ si existe $\delta>0$ tal que $(c-\delta,c+\delta)\subseteq I$ y existe un poder la serie de $\sum a_n(x-c)^n$ con radio de convergencia $R\geq \delta$, tal que $f(x)=\sum a_n(x-c)^n$ todos los $x\in(c-\delta,c+\delta)$.

Si tenemos una función de $f:[0,1)\cup [10,20)\cup [40,50]\to \Bbb R$, el cual se define por $f(x)=\sin x$. Observe que esta definición de Tao es similar a la de tipo 1 forma, lo que significa que requiere el dominio de la función en interés al mínimo posible. (Aunque esta vez se trata de una definición, en vez de EVT, que es un teorema. Sin embargo, no importa para nuestra discusión aquí.) Todos sabemos que $f$ es sin duda "muy bueno" para ser "analítica" en cada punto(punto interior). Sin embargo, rigurosa hablando, parece que no podemos simplemente decir que $f$ es analítica en, digamos, el punto de $0.5$, ya que esta no se ajusta el modelo exacto que la definición que se acaba de decir! Si realmente queremos decir algo sobre la analiticidad de $f$$0.5$, debemos hacer una restricción por nosotros mismos primero, y luego decir algo como $f\vert_{(0.3,0.6)}$ es analítica en $0.5$, que es muy pesada. Y es por eso que he puesto esto.

• Es su mejor manera de decir acerca de esto?
• O debemos siempre adoptar la segunda manera de pharse las definiciones y teoremas?
• Alguna sugerencia?

Answer 1

Al final, todo esto se puede atribuir a los hábitos y la indiferencia con los autores. Muchos libros tienen un sentido de "lo suficientemente bueno" que generalmente no se realmente hasta que realmente rigurosa inspección. Como Petr respuesta menciona, esta realidad es precisamente la razón por la que la formalización de las matemáticas es una tarea trivial.

Por lo tanto tenemos que estar preocupados con la noción de "lo suficientemente bueno". Así, por un lado, tenemos la declaración:

Pero es claramente evidente que esta definición se extiende a funciones arbitrarias, debido a la suposición de que $I$ es un intervalo no es crítico en la definición.

mientras que en el otro nos encontramos con los más formalmente inclinado, como tú, que están preocupados acerca de la validez real de la definición/teorema de la declaración.

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Ahora hay un caso que se hizo para cualquier enfoque, y el balance de cada autor.

Personalmente soy más fan de formalmente correcta definiciones (nota cómo en el Tao de la definición, de un arbitrario $S \subseteq \Bbb R$ también han trabajado en el lugar de $I$). Sin embargo, el lector no debe ser confrontado con excesiva generalidad que dificulta la comprensión ("diferencial").

En la mayoría de los casos es suficiente si la técnicamente más correcta definición(/teorema/prueba(!)) es, simplemente, acompañado por algunos prosa donde la intuición exacta y casos especiales se elaboran. Considerar la claridad añadido por sólo indicando que uno va a definir "el local concepto de analiticidad". Tristemente, muchos de un libro de prosa no es satisfactoria en la medida.

¿Qué es una mala idea en todos los casos es la mezcla de los dos estilos. Ser formal o suelto, pero no definen vagamente y, a continuación, iniciar el uso de restricciones, inclusiones y formal de la maquinaria en sus pruebas. En particular, es probablemente una buena idea para encontrar un libro que se adapte a su nivel natural de formalidad -- que hace que todo sea mucho más fácil.

Answer 2

Cuando se presente una pieza de matemáticas a alguien el principal objetivo es que comprendan las ideas en ella. Lo que es técnicamente correcta es la última preocupación (por supuesto, asegurarse de que el razonamiento es correcto es muy importante!). Tomando tu ejemplo: es imposible que alguien realmente no creo que el $\sin(x)$ no es analítica, mientras que la comprensión de la idea detrás de analiticidad (he. e. la función es suave cerca del punto). Puramente lógico manera de pensar es el equipo. Por suerte o por desgracia, somos seres humanos, por lo tanto hacemos matemáticas de la forma humana.

En su ejemplo, es fácil de hacer "$\sin(x)$ analítica": sólo tienes que cambiar "intervalo abierto" en la definición de "conjunto abierto". Sin embargo, en general la mayoría de forma técnicamente correcta no es la más comprensible y por lo tanto debe ser evitado.

Hay otras cosas que a veces tienen que sacrificar por el bien de la claridad. De hecho, usted puede encontrar algo sobre este asunto en la obra de Terrence Tao del blog, por ejemplo aquí.

Answer 3

Sí, este es un gran problema. Esto hace que el material más difícil de enseñar, más difícil de entender, y si somos serios acerca de la computadora-formalización de las matemáticas, se va a morder nos repetidamente hasta que averiguar. Además, creo que uno de los problemas es la irracional y bastante generalizada aversión por funciones parciales. Hasta que la gente está dispuesta a asumir funciones parciales $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ serio, este seguirá siendo un problema.

En cualquier caso, he aquí un esbozo de cómo solucionar estos tipos de problemas.

Para una función parcial $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, entonces se pueden distinguir dos nociones de continuidad de la siguiente manera:

• $f$ es abiertamente continua iff preimages de abrir los conjuntos son abiertos. Tenga en cuenta que esto implica $f^{-1}(\mathbb{R})$ está abierto, así, por ejemplo, la raíz cuadrada de la función parcial $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ no ser abiertamente continua, ya que es preimagen es $[0,\infty)$.

• $f$ es el límite continua iff interactúa muy bien con los límites. En particular, $f$ es débilmente continua iff para todos los $x \in f^{-1}(\mathbb{R})$ y todos secuencia $s$$f^{-1}(\mathbb{R})$, tenemos que si $s$ converge a$x$, $f(s)$ converge a $f(x)$. Por ejemplo, la raíz cuadrada de la función parcial es el límite continuo.

Con esta distinción en mente, podemos definir abrir y límite de analiticidad de la siguiente manera:

• $f$ es abiertamente analítica iff $f^{-1}(\mathbb{R})$ está abierto, y en cada una de las $x \in f^{-1}(\mathbb{R})$ la función de $f$ se ve como una potencia de la serie.

• $f$ es el límite de la analítica de iff

  • $f$ es el límite continua
  • la restricción de $f$ al interior de $f^{-1}(\mathbb{R})$ es abiertamente analítica

Algo como eso.

Ahora, no estoy 100% seguro de que estas definiciones son las correctas nociones, o que hagan lo que queremos hacer, pero usted consigue la esencia general; si nos movemos a funciones parciales, podemos empezar a pensar acerca de cómo solucionar este problema extraordinariamente extendido problema.