Demuestre si $A B$ entonces $A C B C$ .

Question

Para cualquier conjunto $A, B$ y $C$ Supongamos que $A B$ y supongamos, $x\in (A C)$ .
Entonces $x\in A $ y $x\in C$ por definición de $A C$ .
Desde $A B$ se deduce que si $x\in A$ entonces $x\in B$ .
Así, $x\in A$ y $x\in C$ implica $x\in B$ y $x\in C$ .
Por lo tanto, $x\in B C$ .

¿BIEN?

Por favor, critiquen y den cualquier consejo, ¡gracias!

Answer 1

Parece técnicamente correcto, pero creo que pulirlo le vendría bien. A continuación expongo lo que creo que es una forma bastante decente de redactar tu argumento de forma verbal (de forma muy parecida a como lo has hecho tú), y a continuación ofrezco una forma ligeramente diferente (quizá podrías llamarla un enfoque más "algebraico").

---

Demostrar que si $A\subseteq B$ entonces $A\cap C\subseteq B\cap C$ .

Prueba. Supongamos que $A\subseteq B$ . Si $x\in A\cap C$ entonces $x\in A$ et $x\in C$ por la definición de intersección de conjuntos. Dado que $x\in A$ entonces $x\in B$ desde $A\subseteq B$ . Por lo tanto, si $x\in A\cap C$ entonces $x\in B\cap C$ , según se desee. $\blacksquare$

Prueba. Supongamos que $A\subseteq B$ . Entonces \begin{align} x\in A\cap C &\implies \text{$x\in A$ and $x\in C$}\tag{by definition}\\[1em] &\implies x\in A\ \text{and}\ x\in B\ \text{and}\ x\in C\tag{$A\subseteq B$}\\[1em] &\implies x\in B\ \text{and}\ x\in C\tag{simplification}\\[1em] &\implies x\in B\cap C.\blacksquare \tag{by definition} \end{align}