Deje $R=k[X,Y]/(Y^2-X^2(X-1))$. Es fácilmente demostrado que $R$ es una parte integral de dominio. Por otra parte, $R$ no es normal ya que la matriz Jacobiana $(-3x^2+2x \;\; 2y)$ tiene rango de cero modulo el ideal maximal $\mathfrak m=(x,y)$, mientras que $2-\dim R_{\mathfrak m}=1$.
Ahora note que $t=y/x$ satisface $t^2=x-1$, lo $t$ integral $R$. (Ahora se puede dar otra razón para $R$ no es integralmente cerrado: $t\notin R$, de lo contrario $t=f(x,y)$ que es equivalente a $y=xf(x,y)$. Por el levantamiento de las clases llegamos $Y-Xf(X,Y)\in(Y^2-X^2(X-1))$, lo que conduce rápidamente a una contradicción mediante el envío de $X$$0$.)
Vamos a demostrar que $R[t]$ es integralmente cerrado. Tenemos $R[t]=k[x,y,y/x]$ y este anillo es isomorfo a $$k[X,Y,T]/(Y^2-X^2(X-1),XT-Y,T^2-X+1).$$ In order to show this define a surjective ring homomorphism $\varphi:k[X,Y,T]\k[x,y,y/x]$ by $X\mapsto x$, $S\mapsto y$, $T\mapsto y/x$, and note that $(Y^2-X^2(X-1),XT-Y,T^2-X+1)\subseteq\ker\varphi$. Since $\ker\varphi$ is a prime ideal of height one, all we have to do now is to show that $(Y^2-X^2(X-1),XT-Y,T^2-X+1)$ is also a prime ideal. But $$k[X,Y,T]/(Y^2-X^2(X-1),XT-Y,T^2-X+1)\simeq k[T],$$ and thus we get two things: $(Y^2-X^2(X-1),XT-Y,T^2-X+1)=\ker\varphi$ and $R[t]\simeq k[T]$.
Desde la torre de los anillos de $R\subset R[t]\subset K$ (donde $K$ es el campo de fracciones de $R$) se deduce que la integral de cierre de $R$$R[t]$.
