Hallazgo $\lim_{ n \to \infty }(1-\tan^2\frac{x}{2})(1-\tan^2\frac{x}{4})(1-\tan^2\frac{x}{8})...(1-\tan^2\frac{x}{2^m})=?$

Question

Encontrar el límite de :

$$\lim_{ n \to \infty }(1-\tan^2\frac{x}{2})(1-\tan^2\frac{x}{4})(1-\tan^2\frac{x}{8})...(1-\tan^2\frac{x}{2^n})=?$$

Yo :

$$1-\tan^2 y = \frac{2\tan y }{\tan(2y)}$$

$$\lim_{ n \to \infty }\left( \frac{2\tan\frac{x}{2} }{\tan(x)}\right)( \frac{2\tan\frac{x}{4} }{\tan(\frac{x}{2})})( \frac{2\tan\frac{x}{8} }{\tan(\frac{x}{4})})...( \frac{2\tan\frac{x}{2^n} }{\tan(\frac{x}{2^{n-1}})})=?$$

Ahora?

Answer 1

Tenga en cuenta que los números en la deonominator y el numerador cancelar, dejando sólo a $$\lim_{n \to \infty} 2^{n} \frac{\tan \frac{x}{2^n}}{\tan x}$$ En la ecuación original. Sin embargo, como $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x}{2^n}=0$, $$\lim_{n \to \infty} 2^n \tan \frac{x}{2^n}=\lim_{n \to \infty}x \times \dfrac{ \tan \frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}} =x$ $ Utilizando el hecho de que $\lim\limits_{a \to 0}\frac{\tan a}{a}=1$. Así que el límite se convierte en $$\lim_{n \to \infty} 2^n \times {\tan \frac{x}{2^n}} \times \frac{1}{\tan x}= \frac{x}{\tan x}=x \cot x$$ La respuesta es $x \cot x$.