En una categoría de aditivo, ¿por qué es finito productos de la misma como finito co-productos?

Question

En una categoría de aditivo, ¿por qué es finito productos de la misma como finito co-productos?

Esto es relativamente fácil de probar cuando la categoría es R-mod, pero mi intuición y la creatividad no puede ver cómo el método puede ser extendido a arbritrary categorías de aditivos

Específicamente, en la categoría (en Weibel, "Una introducción al álgebra homológica") se llama aditivo si el Hom-conjuntos de abelian grupos, la composición de morfismos distribuir a través de la adición, y que tiene un distinguido cero objeto (es decir, un objeto que es a la vez inicial y terminal).

Después de dar esta definición, Weibel reclamaciones, sin más explicaciones, que "esta estructura es suficiente para hacer finito productos de la misma como finito co-productos".

¿Cómo es esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que un producto de $A \times B$ es el mismo que el de un pull-back diagrama

A x B -> B
  |      |
  v      v
  A ---> 0

con los mapas de $p:A \times B \to A$$q: A \times B \to B$. En particular, existe un mapa de $i: A \to A \times B$ tal que $pi = 1_{A}$ $qi = 0$ así como un mapa de $j: B \to A \times B$ tal que $qj = 1_{B}$$pj = 0$. Ahora tenga en cuenta que$p(ip + jq) = pip + 0 = p$$q(ip + jq) = q$, de modo que $ip + jq = 1_{A \times B}$.

Veamos que $i: A \to A \times B$ $j: B \to A \times B$ definir un subproducto. Dado $f: A \to D$ $g: B \to D$ obtenemos un mapa de $d: A \times B \to D$ mediante el establecimiento $d = fp + gq$. Desde $di = (fp + gq)i = fpi +gqi = f$ $dj = g$ queda para demostrar la unicidad de $d$. Pero esto es tan claro como el de cualquier otro mapa va a satisfacer $(d-d')1_{A \times B} = (d-d')(ip+jq) = 0$. En resumen, hemos demostrado que el producto de dos objetos es también un subproducto.

Ahora, si lo que queremos decir es finito productos y co-productos existen y coinciden, necesitamos un objeto de cero, ya que de lo contrario el vacío del producto (de la terminal de objeto) y el vacío subproducto (la inicial del objeto) no coinciden.