Encontrar un valor para un número a la potencia de un número complejo

Question

Encontrar un valor de $2^{-4i}$? No tengo idea de qué hacer o cómo encontrar el valor. Mis pensamientos son los que yo uso logaritmo. Por favor alguien puede mostrarme cómo resolver esto?

Answer 1

Voy a esbozar una manera de abordar este problema. Primero debe ser consciente de la fórmula de Euler: $$ e^{ic}=\cos c + i\pecado. c. $$ Ahora observe que podemos escribir $$ e^{b+ic} = e^ser^{ic}=e^b(\cos c + i\pecado c). $$ Lo que puede ser de utilidad para usted, es que para un número real $a$ puede definir $a^{b+ic}$ dejando $a=e^{\ln a}$; esto le dará la siguiente: \begin{align} a^{b+ic} &= e^{\ln a(b+ic)}\\[0.5em] &= e^{b\ln a + i(c\ln a)}\\[0.5em] &= e^{b\ln a}(\cos(c\ln a)+i\sin(c\ln a))\\[0.5em] &= a^b(\cos(c\ln a)+i\sin(c\ln a)) \end{align} Ahora aplicar esto a su problema en el $a=2, b=0, c=-4$. A continuación, se obtiene que $$ 2^0(\cos(-4\ln 2)+i\sin(-4\ln 2))=\cos(-4\ln 2)+i\sin(-4\ln 2). $$

Answer 2

Simplemente escribir,

$2^{-4i} = e^{-4i*\log(2)} = \cos(4\log2) - i\sin(4\log2)$

Usted puede obtener la solución requerida.

Answer 3

El uso de la ecuación de $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$:

$2^{-4i}=(e^{\ln2})^{-4i}=e^{(-4\ln2)i}=\cos{(-4\ln2)}+i\sin{(-4\ln2)}$