Sentido geométrico de transporte paralelo

Question

La definición de transporte paralelo de un vector $v^b$ a lo largo de una curva de $C$ con tangente campo $\it{t}^a$ está dado por Wald del GR $$t^a \nabla_a v^b = 0$$

Es correcto pensar de $\nabla_a v^b$ ortogonal a la curva de $C$, de tal manera que el "producto interior" con $t^a (\nabla_a v^b)$ es cero? Es análogo (o exactamente de la misma) como el hecho de que la pendiente de la curva es ortogonal al vector tangente a lo largo de la curva?

Answer 1

El punto importante es que tanto $t^a$ $v^b$ son vectoror campos definidos (al menos) en $C$. La idea es que si $t^a\nabla_av^b=0$ y tome $v^b$ a un particular punto de $p$ $C$ $v^b$ en todos los otros puntos en $C$ es el paralelo que transportan vector de $p$. Otra manera de pensarlo es que la derivada covariante en una dirección dada es la tasa de cambio del vector de campo wrt el paralelo transportados vector. Por lo tanto, si el campo vectorial es no cambiar wrt paralelo transportados vector (ie $t^a\nabla_av^b=0$), entonces el campo en cada punto es igual a la transportados vector.

Penrose tiene una buena explicación de esto en el Camino a la Realidad Ch 14, p298:

Answer 2

Para abordar la primera pregunta que usted puede considerar $$ \nabla_av^b := v^b ,_a$$ since $$ \nabla : \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(E\otimes T^*M)$$ donde E es cualquier sección(por ejemplo, la tangente del paquete en cuestión)

y contratación con el vector tangente campo de la curva consigue $$t^av^b,_a = 0 $$ esto es similar a la contratación de un campo vectorial con un doble vector $$ t^av_a$$ Así que, sí, puede que algo considerado como el "interior-producto", ya que la contracción en el caso de un vector y un vector dual es, básicamente, la conocida interior del producto.

Sobre la segunda pregunta. No estoy seguro de que se puede comparar la pendiente y la tangente como eso. Esto podría ayudar a aclarar.

http://math.stackexchange.com/questions/290903/difference-between-a-gradient-and-tangent

Answer 3

Creo que la respuesta a esto es, básicamente, sí. Usted tiene que tener cuidado, porque en general, no se puede interpretar interior de los productos de la relatividad como las medidas de que si algo es "ortogonal" a algo más en el sentido Euclidiano. E. g., un lightlike vector cero producto interior consigo mismo. Esto es debido a que la métrica no es la métrica Euclidiana. Sin embargo, la ecuación de $t^a \nabla_a v^b = 0$ en realidad no implican la métrica en el siguiente sentido. Como un ejemplo simple, supongamos que tiene algunas campo de vectores $\textbf{v}$, el espacio-tiempo es plano, está el uso de coordenadas $(p,q)$, y desea saber si una pieza del campo de mentir a lo largo de la $p$ eje constituye transporte paralelo. Desde el espacio-tiempo es plano en mi ejemplo, el operador $\nabla_a$ es simplemente un sinónimo de $\frac{\partial}{\partial x^a}$. El vector tangente ha $t^p=1$$t^q=0$. Así, en este ejemplo, la condición para el transporte paralelo es simplemente

$$ t^p \frac{\partial \textbf{v}}{\partial x^p}=1\cdot\frac{\partial \textbf{v}}{\partial x^p}=0.$$

No hay ninguna necesidad de subir o bajar aquí. Simplemente estás tomando las componentes de los vectores $\textbf{v}$ y la diferenciación con respecto a la coordenada $p$ (.k.una. $x^p$). Dado que la métrica no está involucrado esto en realidad es sólo una derivada direccional, como DanielSank dice en su comentario.

Por supuesto, si el espacio-tiempo no eran planas, la métrica sería relevante porque vendría en la definición de la derivada covariante, pero no creo que esto afecta a la interpretación, que es simplemente que esta es una derivada direccional.