Probar: $2(x^3+y^3+z^3)+3xyz \ge 3(x^2y+y^2z+z^2x)$ $x,y,z \gt 0$

Question

Al principio traté de dividir ambos lados por $xyz$, la desigualdad se convirtió en: $$2\sum {\frac{x^2}{yz}}+3 \ge 3\sum{\frac xy}$$ Deje $$\frac xy = a;\frac yz = b;\frac zx = c;$$ Así que todos tenemos que probar es $$2\sum \frac ab +3 \ge 3 \sum a $$ with $a,b,c$ being positive real and $abc=1$ . Y luego me quedé en este punto. Alguna ayuda ?

Answer 1

Por Schur la desigualdad (siempre que se obtenga $xyz$ con coeficiente positivo en el lado superior, vale la pena probar Schur): $$x^3+y^3+z^3 + 3xyz \geqslant (x^2y+y^2z+z^2x) + (xy^2+yz^2+zx^2)$$

Por lo que es suficiente para mostrar $$x^3+y^3+z^3+(xy^2+yz^2+zx^2) \geqslant 2(x^2y+y^2z+z^2x)$$ lo que sigue a partir de las tres de la mañana-GMs como $x^3+xy^2 \geqslant 2x^2y$.

La igualdad es iff $x=y=z$.