Hace poco estuve pensando en que los sistemas locales son lo mismo que los haces vectoriales con conexión plana, y en cómo las representaciones del grupo fundamental dieron lugar a los haces vectoriales. Esto me hizo pensar en cómo nos hacemos con los haces de líneas en general, y me hizo sospechar que no los entiendo tan bien como debería, así que pensé en hacer una pregunta de novato sobre ellos. En resumen: hay dos maneras diferentes de considerar los haces de líneas en una variedad algebraica compleja suave, como un conjunto de funciones de transición y como una clase de equivalencia de los divisores de Weil, y quiero ver cómo se relacionan los dos.
Vamos a desglosarlo y a ser muy explícitos: $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb{C}$ con grupo fundamental (topológico) generado por $a, b$ . He elegido $E$ porque lo sé todo sobre su grupo Picard. Un sistema local unidimensional en $E$ corresponde a una asignación de números complejos no nulos $\lambda, \mu$ a $a, b$ y tensando esta configuración con $\mathcal{O}$ Obtengo la gavilla de secciones de un determinado haz de líneas, cuyas funciones de transición en un conjunto apropiado de trivializaciones deben ser $\lambda$ y $\mu$ . Me he convencido de que las diferentes opciones de $\lambda$ y $\mu$ dame paquetes no isomórficos. Ahora, si fijo un punto distinguido $P_0$ de $E$ , eligiendo $d \in \mathbb{Z}$ y $P \in E$ es lo mismo que elegir una clase de isomorfismo de haces de líneas en $E$ cuyo divisor asociado será $P + (d-1)P_0$ .
Entonces, ¿cómo son $\lambda$ , $\mu$ y $P, d$ ¿Relacionado? ¿Existe una fórmula agradable? ¿Y para las curvas de mayor género? ¿Estoy confundido?
