Haces de líneas: de las funciones de transición a los divisores

Question

Hace poco estuve pensando en que los sistemas locales son lo mismo que los haces vectoriales con conexión plana, y en cómo las representaciones del grupo fundamental dieron lugar a los haces vectoriales. Esto me hizo pensar en cómo nos hacemos con los haces de líneas en general, y me hizo sospechar que no los entiendo tan bien como debería, así que pensé en hacer una pregunta de novato sobre ellos. En resumen: hay dos maneras diferentes de considerar los haces de líneas en una variedad algebraica compleja suave, como un conjunto de funciones de transición y como una clase de equivalencia de los divisores de Weil, y quiero ver cómo se relacionan los dos.

Vamos a desglosarlo y a ser muy explícitos: $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb{C}$ con grupo fundamental (topológico) generado por $a, b$ . He elegido $E$ porque lo sé todo sobre su grupo Picard. Un sistema local unidimensional en $E$ corresponde a una asignación de números complejos no nulos $\lambda, \mu$ a $a, b$ y tensando esta configuración con $\mathcal{O}$ Obtengo la gavilla de secciones de un determinado haz de líneas, cuyas funciones de transición en un conjunto apropiado de trivializaciones deben ser $\lambda$ y $\mu$ . Me he convencido de que las diferentes opciones de $\lambda$ y $\mu$ dame paquetes no isomórficos. Ahora, si fijo un punto distinguido $P_0$ de $E$ , eligiendo $d \in \mathbb{Z}$ y $P \in E$ es lo mismo que elegir una clase de isomorfismo de haces de líneas en $E$ cuyo divisor asociado será $P + (d-1)P_0$ .

Entonces, ¿cómo son $\lambda$ , $\mu$ y $P, d$ ¿Relacionado? ¿Existe una fórmula agradable? ¿Y para las curvas de mayor género? ¿Estoy confundido?

Answer 1

Como se ha señalado en el comentario, $d$ debe ser $0$ (los haces con una conexión plana sólo pueden tener grado $0$ ), y diferentes conexiones pueden llevar al mismo haz. Sin embargo, todo haz de líneas de grado cero en una curva elíptica (o de género superior) tiene una única conexión unitaria plana, es decir, en tu ejemplo con $|\lambda|=|\mu|=1$ . Esto identifica el jacobiano de cualquier curva compleja proyectiva suave con un producto de $2g$ círculos (una vez que se fija una base de $H_1(C,\Bbb Z)$ ). Para una curva elíptica, esta es la identificación habitual con el 2-toro.